Vectoren

Prot

Hallo, ik heb er al iets gevraagd over vectoriele vergelijkingen en die snap ik nu ongeveer wel. Maar in mijn boek staat nog een bijkomende vraag waar ik niet aan uit kan.

Ze vragen: Stel de Vectoriele vergelijking op van het vlak door: a+b-c en met een paar richtingsvectoren (b+c-a, c+a-b)

De vectoriele vergelijking kan ik bepalen denk ik, nl. P= a+b-c + k(b+c-a)+m(c+a-b)

En als ik verder uitreken dan: P= a+b-c+kb+kc-ka+mc+ma-mb

Uiteindelijk: P= (1-k+m)a + (1+k-m)b + (-1+k+m)c

Maar nu vragen ze: Bewijs dat a+b tot dit vlak behoort. Hoe kan ik dat bewijzen?

Vraag 2: Bewijs dat de rechte door a+3b +c en -5a+2b+4c ligt in het vlak a+b+c en met (b+c-2a, b-c+2a)

Nu moet ik dan eerst de vectoriele vergelijking voor het vlak opstellen? Als ik dat doe wordt dat dan:

P= a+b+c + k(b+c-2a) + m(b-c+2a)

= a+b+c +kb +kc -2ka + mb - mc + 2ma

= (1-2k+2m)a + (1+k+m)b + (1+k-m)c

Dus deze is dan de vectoriele vergelijking van het vlak, hoe moet ik nu verder omdat te bewijzen? Moet ik ook de vetcoriele vergelijking van de rechten opstellen?

TD

Maar nu vragen ze: Bewijs dat a+b tot dit vlak behoort. Hoe kan ik dat bewijzen?

Kan je waarden vinden voor de parameters m en k zodat a+b voldoet aan de vergelijking?

Dus deze is dan de vectoriele vergelijking van het vlak, hoe moet ik nu verder omdat te bewijzen? Moet ik ook de vetcoriele vergelijking van de rechten opstellen?

Ja, probeer dan uit te drukken dat een willekeurig punt van die rechte (in functie van een nieuwe parameter), steeds in het vlak ligt (dus dat je opnieuw waarden kan vinden voor de parameters m en k van het vlak...).

Prot

TD schreef:Kan je waarden vinden voor de parameters m en k zodat a+b voldoet aan de vergelijking?

Ja, probeer dan uit te drukken dat een willekeurig punt van die rechte (in functie van een nieuwe parameter), steeds in het vlak ligt (dus dat je opnieuw waarden kan vinden voor de parameters m en k van het vlak...).

Met die parameters kan ik niet zo goed volgen. Dus de twee parameters k en m kunnen welke waarde dan ook uitdrukken (-1,1,...) dus is het dan de bedoeling dat de waarde zo zijn dat de waarde voor de vector c gelijk is aan 0 zodat die er niet bij hoort?

Voor de tweede vraag: Maar de rechten die door de twee punten gaat, moet ik dan voor elke rechte de richtingsvector kiezen die ik ook gebruikt heb voor het vlak? En als ik die twee vergelijkingen dan heb, hoe kan ik dan weer controleren of die rechte in het vlak ligt?

Ik kan je eigenlijk niet zo goed volgen in die parameters.

TD

Met die parameters kan ik niet zo goed volgen. Dus de twee parameters k en m kunnen welke waarde dan ook uitdrukken (-1,1,...) dus is het dan de bedoeling dat de waarde zo zijn dat de waarde voor de vector c gelijk is aan 0 zodat die er niet bij hoort?

Zo'n voorstelling met parameters werkt als volgt: een punt X ligt in het vlak als het voldoet aan de vergelijking (P = ...) en dat wil zeggen dat je een koppel parameters (m,k) kan vinden zodat P = X. Je moet dus inderdaad m en k vinden zodat P = a+b, dus c moet inderdaad wegvallen.

Voor de tweede vraag: Maar de rechten die door de twee punten gaat, moet ik dan voor elke rechte de richtingsvector kiezen die ik ook gebruikt heb voor het vlak? En als ik die twee vergelijkingen dan heb, hoe kan ik dan weer controleren of die rechte in het vlak ligt?

Voor elke rechte...? Er is maar één rechte! De rechte door die twee punten, die heeft een vectoriële vergelijking...

Prot

TD schreef:Zo'n voorstelling met parameters werkt als volgt: een punt X ligt in het vlak als het voldoet aan de vergelijking (P = ...) en dat wil zeggen dat je een koppel parameters (m,k) kan vinden zodat P = X. Je moet dus inderdaad m en k vinden zodat P = a+b, dus c moet inderdaad wegvallen.

Voor elke rechte...? Er is maar één rechte! De rechte door die twee punten, die heeft een vectoriële vergelijking...

Ik geraak er niet goed uit, als ik voor k=1 en m=1 dan verkrijg ik dat P=a+b+c

maar ik vind echt geen twee waarden voor de parameters zodat de c wegvalt.

Voor de tweede vraag: Als ik de vectoriele vergelijking van de rechte moet opstellen, vermits de rechte door beide punten gaat kan ik ze dan allebei gebruiken? En moet ik de richtingsvectoren van het vlak gebruiken voor de vectoriele vergelijking van de rechte op te stellen (welke dan, vermits er twee zijn)?

TD

Prot schreef:Ik geraak er niet goed uit, als ik voor k=1 en m=1 dan verkrijg ik dat P=a+b+c

maar ik vind echt geen twee waarden voor de parameters zodat de c wegvalt.

\(\vec p = \left( {1 - k + m} \right)\vec a + \left( {1 + k - m} \right)\vec b + \left( { - 1 + k + m} \right)\vec c\)

Voor de tweede vraag: Als ik de vectoriele vergelijking van de rechte moet opstellen, vermits de rechte door beide punten gaat kan ik ze dan allebei gebruiken? En moet ik de richtingsvectoren van het vlak gebruiken voor de vectoriele vergelijking van de rechte op te stellen (welke dan, vermits er twee zijn)?

De richtingsvectoren van het vlak hebben niets te maken met de rechte. De rechte moet door twee gegeven punten gaan, kies een van beide punten als vast punt en maak een richtingsvector van de gezochte rechte door het verschil van beide punten te nemen.

Prot

TD schreef:
\(\vec p = \left( {1 - k + m} \right)\vec a + \left( {1 + k - m} \right)\vec b + \left( { - 1 + k + m} \right)\vec c\)
Je wil p = a+b, dus: 1-k+m = 1 en 1+k-m = 1; hieruit volgt enkel k = m; en -1+k+m = 0; dus uit deze laatste volgt k = m = 1/2.

De richtingsvectoren van het vlak hebben niets te maken met de rechte. De rechte moet door twee gegeven punten gaan, kies een van beide punten als vast punt en maak een richtingsvector van de gezochte rechte door het verschil van beide punten te nemen.

Ah ok, die eerste snap ik, bedankt. Ik zat in de goede richting, maar ik geraakte er niet goed uit.

Voor de tweede vraag dus: Stel ik kies het eerste punt als vastpunt dus: a + 3b + c, en nu maak ik het verschilt tussen beide punten: a+3b+c - (-5a+2b+4c)= a+3b+c+5a-2b-4c= 6a+b-3c is dus de richtingsvector. Dus als ik de vectoriele vergelijking opstel wordt dat dan: P= a+3b+c + k(6a+b-3c) = a+3b+c+6ka+kb-3kc=

(1+6k)a+(3+k)b+(1-3k)c, dus: P= (1+6k)a+(3+k)b+(1-3k)c

Dus ik heb nu de vectoriele vergelijking van de rechte en van het vlak, is het dan weer de bedoeling dat ik parameters zoek voor de parameters k en m?

TD

Inderdaad, maar noem de parameter bij je rechte dan n of zo, want dat hoeft niet de k van je vlak te zijn.

Ga na of je voor elke n, een koppel (k,m) kan vinden (i.f.v. n) zodat elk punt van de rechte in het vlak ligt.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Vectoren

Vectoren

Re: Vectoren

Re: Vectoren

Re: Vectoren

Re: Vectoren

Re: Vectoren

Re: Vectoren

Re: Vectoren