Partiële afgeleide van integraal

christopheb

Hoi,

In een van mijn oefeningen wordt er gevraagd de partiële afgeleide van een integraal te berekenen. De uitwerking tijdens de oefenzitting gaat als volgt:

$Afbeelding$

Echter begrijp ik het afleiden van de integraal niet goed. Waarom wordt er bijvoorbeeld in de eerste stap de afgeleide naar x van het verschil van F' gedaan (dus de afgeleide van F), en niet van F zelf?

Wat er op de tweede regel gebeurt volg ik al helemaal niet meer, waarom moet plots xy zelf ook partiëel afgeleid worden?

Stel dat ik de integraal moet afleiden naar x, zou ik dan ook bijvoorbeeld eerst de integraal mogen uitrekenen, en dus F(xy) - F(0) partiëel afleiden naar x en y? Indien dit ook zou mogen, loop ik tegen het probleem aan dat ik niet meteen zie hoe ik de integraal moet uitrekenen.

Mijn idee zou gaan als volgt:

$Afbeelding$

Bijgevolg lijkt mijn oplossing dus niet te kloppen en zit ik met het probleem dat mijn redenering via de integraal niet op te lossen valt omdat ik de integraal niet kan berekenen. En aangezien ik de oplossingsmethode van in de oefenzitting niet kan vatten lukt het mij dus niet om deze oefening op te lossen, terwijl het mij eigenlijk een vrij eenvoudige integraal lijkt.

Kunnen jullie mij verduidelijken waar ik denkfouten maak, en mij eventueel in de juiste richting sturen?

TD

Heb je in de theorie geen regels of stellingen gezien over het afleiden van een integraal? Zie bv. hier.

christopheb

In de theorie stond enkel een duidelijk voorbeeld met minder veranderlijken. Bedankt voor de wikipedia url, deze komt er goed van pas (aangezien ik ook moeilijkheden heb met het begrijpen van afleidingen binnen de integraal). Wel vind ik het raar dat op de oplossing van wikipedia er een derde stuk bij hoort (opnieuw de integraal, maar dan binnein afgeleid), en dat dit bij mijn oplossing nergens voorkomt.

Als ik het goed begrijp hoef ik nu de partiële afgeleide van F(xy) naar x te berekenen zoals in de oplossing van de oefenzitting (tweede rij, eerste deeltje). Maar dan moet je weer de integraal uitrekenen om F (primitieve functie?) te bekomen, en dan loop je weer tegen de uitrekening van de integraal aan. Wat ik persoonlijk dacht was dat het op een of andere manier mogelijk zou moeten zijn om binnen de integraal af te leiden. Dan zou ik bijvoorbeeld partiële afgeleide van F(xy) naar x berekenen door binnen de integraal naar x af te leiden. Maar dan weet ik waarop die xy van toepassing moet zijn?

TD

Wel vind ik het raar dat op de oplossing van wikipedia er een derde stuk bij hoort (opnieuw de integraal, maar dan binnein afgeleid), en dat dit bij mijn oplossing nergens voorkomt.

Dat laatste stuk (terug die integraal, binnen partieel afgeleid naar x) is er bij jou niet omdat je functie niet afhangt van x, die afgeleide is dus 0. Je hebt dus alleen die eerste twee termen en daarvoor hoef je de integraal niet uit te rekenen.

christopheb

Bedankt voor de verklaring van het wegvallen van het laatste deel.

Ben ik in de juiste richting aan het denken als ik het deeltje van hierboven herneem, meerbepaald dat ik binnen de integraal moet afleiden? Dat ik dus eigenlijk die e tot de -t naar x afleid als eerste, en daarna de integraal van die afgeleide bereken tussen grenzen 0 en xy?

TD

Ik begrijp niet helemaal wat je bedoelt, nu is het toch gewoon deze regel toepassen?

christopheb

Mijn excuses voor de late reactie, ik zit momenteel in een examenperiode en ben dus ook voor andere vakken aan het leren ondertussen.

Ondanks de uitleg ben ik nog helemaal niet zeker van mijn stuk. Klopt het dat de wikipediapagina (waarbij de integraal afhankelijk is van een functie a en een functie b, die op hun beurt weer afhankelijk zijn een veranderlijke x), om die reden eerst een partiële afgeleide van de gehele integraal naar b doet, en vervolgens partiële afgeleide van b naar x? Het lijkt allesinds wel zo te kloppen.

Echter, wanneer ik het dan toepas op mijn integraal, zou ik de integraal moeten partiëel afleiden naar xy tegelijk (als ik puur de gedachtengang zou volgen). Maar partiëel afleiden naar twee veranderlijken tegelijk lijkt me vrij onmogelijk dus hier begrijp ik om te beginnen niet waarom het niet volgens deze gedachte klopt. In mijn oplossing (helemaal bovenaan) wordt eerst F partiëel afgeleid naar x in (xy) en vervolgens xy partiëel afgeleid naar x.

a(x) en b(x)

xy en 0

Volgens mij idee zou dus de integraal afhankelijk zijn een functie f(x,y). Allesinds, dat lijkt mij de enige manier om dit te doen kloppen. Echter, dan nog gaat het in de mist want dan lijkt het mij dat de volgende oplossing zou ontstaan:

Partiële afgeleide van F naar f(x,y) + partiële afgeleide van f(x,y) naar x + partiële afgeleide van f(x,y) naar y.

Zoals je ziet, ik snap totaal niet hoe het in elkaar zit en voorgekauwde voorbeelden kan je natuurlijk toepassen, maar wanneer je echt moet snappen hoe dat "afleiden binnen de integraal" in elkaar zit heb ik gewoon het inzicht niet in de zaak.

Mocht je dat iets kunnen verduidelijk zou het mij misschien doen inzien hoe dat partiële afleiden met meerdere veranderlijken juist in elkaar zit, en kan ik het misschien eindelijk tot in detail begrijpen. Uiteraard heb ik mijn cursus wiskunde reeds meerdere malen geraadpleegd, en partiële afgeleiden op zich begrijp ik wel, maar niet als het "dieper" gaat, als je meerdere veranderlijken na elkaar moet doen zoals in deze oefening. Ik zou het echt heel graag begrijpen, maar tot nu toe slaag ik daar duidelijk niet in.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Partiële afgeleide van integraal

Parti

Re: Parti

Re: Parti

Re: Parti

Re: Parti

Re: Parti

Re: Parti