Middelwaardestelling

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 6

Middelwaardestelling

Toon aan met behulp van de middelwaardestelling

ln(1 +√2) +1/√41 < argsh(1; 25) < ln(1 +√2) +√2/8

Ik weet niet hoe hieraan te beginnen. Zou iemand mij kunnen helpen.

Alvast bedankt!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Middelwaardestelling

Waarvoor staan de twee argumenten bij argsh?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 6

Re: Middelwaardestelling

Waarvoor staan de twee argumenten bij argsh?
Hoe bedoel je? Zijn dit niet gewoon 2 waarden?

Ik heb inmiddels berekend dat Argsh(1.25) = 1.04795. Helpt dit mij iets verder?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Middelwaardestelling

Oké, maar "1; 25" is wel een vreemde notatie voor 1.25, door ";" en de spatie lijkt het om twee argumenten te gaan of iets dergelijks. De ongelijkheid klopt voor argsh(1.25), dus dat zal wel de opgave zijn. Misschien helpt het als je weet dat:
\(\arg \sinh \left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 6

Re: Middelwaardestelling

Niet echt. dat wist ik immers al.

Ik zie hoe men aan ln(√2+1) komt (door 1 in te vullen in formule voor Argsh). Maar hoe kom ja dan aan 1/√41 en √2/8.

En hoe kan je hier de middelwaardestelling op toepassen? Moet je dan een interval [a,b] kiezen waar 1.25 tot behoort?

Dan zou ik a=1 nemen en b=?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Middelwaardestelling

Niet echt. dat wist ik immers al.
Maar dat kunnen wij niet weten, als jij niet zegt dat je al weet, kent, geprobeerd hebt, zelf gevonden hebt,... :eusa_whistle:
muncky schreef:Ik zie hoe men aan ln(√2+1) komt (door 1 in te vullen in formule voor Argsh). Maar hoe kom ja dan aan 1/√41 en √2/8.

En hoe kan je hier de middelwaardestelling op toepassen? Moet je dan een interval [a,b] kiezen waar 1.25 tot behoort?

Dan zou ik a=1 nemen en b=?
Neem b = 5/4, want dan is sqrt(1+b²) = sqrt(1+25/26) = sqrt(41/16) = sqrt(41)/4.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 6

Re: Middelwaardestelling

Wat je zegt snap ik.

Maar ik heb nog steeds niet door hoe je de middelwaardestelling kan gebruiken om tot de gegeven ongelijkheid te komen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Middelwaardestelling

De stelling stelt dat er een c in (a,b) is zodat:
\(\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} = f'\left( c \right)\)
Voor zekere d en e zal f'(x) respectievelijk minimaal en maximaal zijn op (a,b), daarvoor geldt:
\(f'\left( d \right) \le \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} \le f'\left( e \right)\)
Pas dit toe op het interval [1,5/4] en herschrijf de ongelijkheid nog op een gepaste manier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 6

Re: Middelwaardestelling

Ok.

Hoe vindt je dan de waarden d en e, m.a.w. hoe vindt je waar de afgeleide maximaal zal zijn?

Ik heb reeds gevonden dat de afgeleide van Argsh in 1 gelijk is aan √2/2 en in 5/4 gelijk is aan 4/√41.

In de gegeven ongelijkheid zijn deze waarden gedeeld door 4 en staat er nog ln(√2+1) bij. Hoe komt dit?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Middelwaardestelling

Bepaal de afgeleide, zie je niet onmiddellijk wat de minimale en maximale waarde is op (1,5/4)? De afgeleide functie is monotoon op dat interval...

Wat er niet op de juiste plaats staat, kan je nog proberen te verhuizen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 6

Re: Middelwaardestelling

Alles is mij duidelijk geworden.

Heel erg bedankt voor je hulp!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Middelwaardestelling

Oké, graag gedaan! Ik help je liever stap voor stap, dan leer je er het meest van bij - denk ik... :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer