Goniometrische vergelijking

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Gebruikersavatar
Berichten: 136

Goniometrische vergelijking

goede avond,

Ik heb een formule gekregen fa (x) = 2·sin2x + a·cosx en ik moet daarvoor het bereik berekenen voor a=2. Dus wordt het f2 (x) = 2·sin2x + 2cosx

Nu loop ik hier al vast. Ik schaam me er wel voor eigenlijk, want ik zit in VWO 6 en zou dit eigenlijk moeten beheersen.

Zou iemand mij stap voor stap kunnen begeleiden? Ik weet wel dat je of de 2·sin2x ofwel de 2cosx moet herschrijven naar een cosinus of sinus.

alvast bedankt

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Goniometrische vergelijking

Hoe bepaal je het bereik van bv:

f(x)=x²-2x

Al aan de afgeleide gedacht en waarom?

Gebruikersavatar
Berichten: 136

Re: Goniometrische vergelijking

ok,

ik heb even rondgekeken op wikipedia, en ik kan 2sin2x herschrijven tot 1-cos(2x).

nu moet ik dus de afgeleide bepalen van 1-cos(2x) + 2cosx.

f2'(x) = 2sin(2x) + 2sin(-x)

f2'(x) = 0

en daar loop ik vast

Is er een handige regel of iets waaraan je kan zien welk deel van de formule je het beste kan herschrijven om een zo simpel mogelijke vergelijking over te houden en daarmee verder te werken?

ja ik had wel al aan de afgeleide gedacht, maar ik wist niet hoe ik deze moest berekenen om een makkelijke vergelijking over te houden om verder mee te werken.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Goniometrische vergelijking

Rexxar schreef:ik heb even rondgekeken op wikipedia, en ik kan 2sin2x herschrijven tot 1-cos(2x).

nu moet ik dus de afgeleide bepalen van 1-cos(2x) + 2cosx.

f2'(x) = 2sin(2x) + 2sin(-x)

f2'(x) = 0

en daar loop ik vast
De sinus is oneven (sin(-a) = -sin(a)) en je kan de verdubbelingsformule gebruiken:
\(2\sin \left( {2x} \right) + 2\sin \left( { - x} \right) = 4\sin x\cos x - 2\sin x = 2\sin x\left( {2\cos x - 1} \right)\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Goniometrische vergelijking

Rexxar schreef:ok,

ik heb even rondgekeken op wikipedia, en ik kan 2sin2x herschrijven tot 1-cos(2x).

nu moet ik dus de afgeleide bepalen van 1-cos(2x) + 2cosx.

f2'(x) = 2sin(2x) + 2sin(-x)

f2'(x) = 0

en daar loop ik vast

Is er een handige regel of iets waaraan je kan zien welk deel van de formule je het beste kan herschrijven om een zo simpel mogelijke vergelijking over te houden en daarmee verder te werken?

ja ik had wel al aan de afgeleide gedacht, maar ik wist niet hoe ik deze moest berekenen om een makkelijke vergelijking over te houden om verder mee te werken.
f2'(x) = 2sin(2x) + 2sin(-x)

f2'(x) = 0

Dit is correct. Dus:

sin(2x)-sin(x)=0

sin(2x)=sin(x)

Wat volgt nu? Maw als sin(A)=sin(B) wat volgt dan voor A en B?

A=B+k*2pi of A= ... +k*2pi

Gebruikersavatar
Berichten: 136

Re: Goniometrische vergelijking

Safe schreef:f2'(x) = 2sin(2x) + 2sin(-x)

f2'(x) = 0

Dit is correct. Dus:

sin(2x)-sin(x)=0

sin(2x)=sin(x)

Wat volgt nu? Maw als sin(A)=sin(B) wat volgt dan voor A en B?

A=B+k*2pi of A= ... +k*2pi
moet het dan A = ½B + k*2
\( \pi \)
zijn?

Oh, nog een vraagje, zijn er handige tips of vuistregels om snel of makkelijk delen van functies om te zetten voor makkelijker rekenen?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Goniometrische vergelijking

moet het dan A = ½B + k*2
\( \pi \)
zijn?
Nee, wanneer hebben twee hoeken dezelfde sinus? Natuurlijk als de hoeken gelijk zijn, met veelvouden van 2pi, maar wanneer nog? Kijk eens op een goniometrische cirkel.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 136

Re: Goniometrische vergelijking

hmm, ik zie of snap het niet helemaal

ik zou zeggen bij ½
\(\pi\)
en 1¾
\(\pi\)
of zit ik verkeerd te denken?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Goniometrische vergelijking

Je trekt een horizontale lijn door de goniometrische cirkel. Immers, op de y-as vind je de 'sinus-as'. De twee snijpunten met de as en cirkel bepalen dan twee hoeken. Deze hoeken hebben dezelfde sinus. (Grafische interpretatie). Dus: relatie tussen de hoeken?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Goniometrische vergelijking

Je weet dat sin(30°) = sin(pi/6) = 1/2. Ken je nog een hoek tussen 0 (0°) en 2.pi (360°) waarvan de sinus 1/2 is? Maak eventueel een schets op een goniometrische cirkel als je het niet ziet!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 136

Re: Goniometrische vergelijking

\( sin \frac1{6} \pi = sin \frac5{6} \pi \)
?

maar, hoe kan ik dit dan gebruiken in mijn vraagstuk?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Goniometrische vergelijking

Wat betreft de hoeken, dat klopt alvast.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Goniometrische vergelijking

Rexxar schreef:
\( sin \frac1{6} \pi = sin \frac5{6} \pi \)
?

maar, hoe kan ik dit dan gebruiken in mijn vraagstuk?
Inderdaad, nu algemeen: sin(a) = sin(b) als a = b (+ 2.k.pi) of als a = pi-b (+ 2.k.pi).

Hiermee kan je de vergelijking verder oplossen, voor de nulpunten van de afgeleide.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 136

Re: Goniometrische vergelijking

dus krijg ik
\( 2x = x + k2\pi \)
of
\( 2x = \pi - x + k2\pi \)
dus
\( x = 0 + k2\pi \)
of
\( 3x = \pi + k2\pi \)
\( x = \frac1{3} \pi + k \frac2{3} \pi \)
dus de oplossingen zijn

{
\(0, ½\pi,\pi,1\frac2{3}\pi,2\pi\)
}

wat het bereik dus f(
\(\frac1{3}\pi\)
) en f(
\(\pi\)
)

dat geeft de waarden 2.5 en -2, dus het Bf = [-2 ; 2,5]

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Goniometrische vergelijking

\( x = ¾ \pi + k \frac2{3} \pi \)
Waar komt die noemer 4 opeens vandaan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer