Kwadrieken
-
- Berichten: 35
Kwadrieken
Beste,
Ik zit met een probleem om de eenvoudigste vorm van een kwadriek te vinden.
De vergelijking waarvoor ik dit moet doen is : f(x)=3x^2-6xy-5y^2-6x+22y+24=0.
Deze zet ik eerst om naar
Transpose(X).A.X + 2.Transpose(B).X-24 = 0
Met
A= 3 -3 0
-3 -5 0
0 0 0
B= 3
11
0
Daarna moeten de eigenvectoren berekend worden van A en deze orthogonaliseren en orthonormaliseren. Deze vormen dan de kolommen van een matrix Q.
Zo kan men Transpose(X).A.X vereenvoudigen tot X'^(T).Q^(T).A.Q.X' = X'^(T)(diag(-6,0,4)).X'
met (-6,0,4) eigenwaarden van A.
met X'= x'
y'
z'
De tweede term 2.B^(T).X -24 wordt dan volgens het stappenplan 2.B'^(T).X' - 24 = 0
waarbij X = Q.X'
Mijn eerste vraag is dan welke transformatie B ondergaat om B' te verkrijgen?
Mijn tweede vraag gaat over de volgende stap die zegt een matrix P' te definieren als
P' = -diag(-6,0,4)^(-1).B'
Maar hoe is dat mogelijk als uw matrix diag(-6,0,4) singulier is zoals in dit geval?
Ik hoop echt dat iemand mij kan helpen want ik zit een beetje in de knoei hierbij...
Al heel erg bedankt op voorhand!
Ik zit met een probleem om de eenvoudigste vorm van een kwadriek te vinden.
De vergelijking waarvoor ik dit moet doen is : f(x)=3x^2-6xy-5y^2-6x+22y+24=0.
Deze zet ik eerst om naar
Transpose(X).A.X + 2.Transpose(B).X-24 = 0
Met
A= 3 -3 0
-3 -5 0
0 0 0
B= 3
11
0
Daarna moeten de eigenvectoren berekend worden van A en deze orthogonaliseren en orthonormaliseren. Deze vormen dan de kolommen van een matrix Q.
Zo kan men Transpose(X).A.X vereenvoudigen tot X'^(T).Q^(T).A.Q.X' = X'^(T)(diag(-6,0,4)).X'
met (-6,0,4) eigenwaarden van A.
met X'= x'
y'
z'
De tweede term 2.B^(T).X -24 wordt dan volgens het stappenplan 2.B'^(T).X' - 24 = 0
waarbij X = Q.X'
Mijn eerste vraag is dan welke transformatie B ondergaat om B' te verkrijgen?
Mijn tweede vraag gaat over de volgende stap die zegt een matrix P' te definieren als
P' = -diag(-6,0,4)^(-1).B'
Maar hoe is dat mogelijk als uw matrix diag(-6,0,4) singulier is zoals in dit geval?
Ik hoop echt dat iemand mij kan helpen want ik zit een beetje in de knoei hierbij...
Al heel erg bedankt op voorhand!
-
- Berichten: 35
Re: Kwadrieken
Ik merkte al dat mijn fout zat in het feit dat mijn matrixvoorstelling die was van 3 onbekenden terwijl er maar twee zijn (x,y). Daarbij blijft wel de vraag in welke transformatie B ondergaat om B' te verkrijgen...?
-
- Berichten: 336
Re: Kwadrieken
Je hebt Q dus al gekozen als een basis transformatie naar de eigenvectoren van A. Als je Q goed kiest(genormaliseert) dan geldt Q.Q^T = I
Met deze truc kun je je vergelijking omgooien als volgt.
Kies X' = Q^T.X (equivalent met X = Q X')
Nu kun je de volgende stappen maken
X^T.A.X + 2.B^T.X-24 = 0
X^T.Q.Q^T.A.Q.Q^T.X+2.B^T.Q.Q^T.X-24=0
X'^T.Q^T.A.Q.X'+2.B^T.Q.X'-24=0
X'^T.diag(-6,0,4).X'+2.B^T.Q.X'-24=0
Kortom B'=Q^T.B
Met deze truc kun je je vergelijking omgooien als volgt.
Kies X' = Q^T.X (equivalent met X = Q X')
Nu kun je de volgende stappen maken
X^T.A.X + 2.B^T.X-24 = 0
X^T.Q.Q^T.A.Q.Q^T.X+2.B^T.Q.Q^T.X-24=0
X'^T.Q^T.A.Q.X'+2.B^T.Q.X'-24=0
X'^T.diag(-6,0,4).X'+2.B^T.Q.X'-24=0
Kortom B'=Q^T.B
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.