Springen naar inhoud

Kwadrieken


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Arnowmoan

    Arnowmoan


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 januari 2010 - 18:14

Beste,

Ik zit met een probleem om de eenvoudigste vorm van een kwadriek te vinden.
De vergelijking waarvoor ik dit moet doen is : f(x)=3x^2-6xy-5y^2-6x+22y+24=0.

Deze zet ik eerst om naar

Transpose(X).A.X + 2.Transpose(B).X-24 = 0

Met
A= 3 -3 0
-3 -5 0
0 0 0

B= 3
11
0

Daarna moeten de eigenvectoren berekend worden van A en deze orthogonaliseren en orthonormaliseren. Deze vormen dan de kolommen van een matrix Q.

Zo kan men Transpose(X).A.X vereenvoudigen tot X'^(T).Q^(T).A.Q.X' = X'^(T)(diag(-6,0,4)).X'
met (-6,0,4) eigenwaarden van A.

met X'= x'
y'
z'

De tweede term 2.B^(T).X -24 wordt dan volgens het stappenplan 2.B'^(T).X' - 24 = 0

waarbij X = Q.X'
Mijn eerste vraag is dan welke transformatie B ondergaat om B' te verkrijgen?

Mijn tweede vraag gaat over de volgende stap die zegt een matrix P' te definieren als

P' = -diag(-6,0,4)^(-1).B'

Maar hoe is dat mogelijk als uw matrix diag(-6,0,4) singulier is zoals in dit geval?

Ik hoop echt dat iemand mij kan helpen want ik zit een beetje in de knoei hierbij...
Al heel erg bedankt op voorhand!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Arnowmoan

    Arnowmoan


  • >25 berichten
  • 35 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 januari 2010 - 19:06

Ik merkte al dat mijn fout zat in het feit dat mijn matrixvoorstelling die was van 3 onbekenden terwijl er maar twee zijn (x,y). Daarbij blijft wel de vraag in welke transformatie B ondergaat om B' te verkrijgen...?

Veranderd door Arnowmoan, 11 januari 2010 - 19:06


#3

sirius

    sirius


  • >250 berichten
  • 336 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2010 - 11:55

Je hebt Q dus al gekozen als een basis transformatie naar de eigenvectoren van A. Als je Q goed kiest(genormaliseert) dan geldt Q.Q^T = I

Met deze truc kun je je vergelijking omgooien als volgt.
Kies X' = Q^T.X (equivalent met X = Q X')
Nu kun je de volgende stappen maken
X^T.A.X + 2.B^T.X-24 = 0
X^T.Q.Q^T.A.Q.Q^T.X+2.B^T.Q.Q^T.X-24=0
X'^T.Q^T.A.Q.X'+2.B^T.Q.X'-24=0
X'^T.diag(-6,0,4).X'+2.B^T.Q.X'-24=0

Kortom B'=Q^T.B
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures