Kwadrieken

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 35

Kwadrieken

Beste,

Ik zit met een probleem om de eenvoudigste vorm van een kwadriek te vinden.

De vergelijking waarvoor ik dit moet doen is : f(x)=3x^2-6xy-5y^2-6x+22y+24=0.

Deze zet ik eerst om naar

Transpose(X).A.X + 2.Transpose(B).X-24 = 0

Met

A= 3 -3 0

-3 -5 0

0 0 0

B= 3

11

0

Daarna moeten de eigenvectoren berekend worden van A en deze orthogonaliseren en orthonormaliseren. Deze vormen dan de kolommen van een matrix Q.

Zo kan men Transpose(X).A.X vereenvoudigen tot X'^(T).Q^(T).A.Q.X' = X'^(T)(diag(-6,0,4)).X'

met (-6,0,4) eigenwaarden van A.

met X'= x'

y'

z'

De tweede term 2.B^(T).X -24 wordt dan volgens het stappenplan 2.B'^(T).X' - 24 = 0

waarbij X = Q.X'

Mijn eerste vraag is dan welke transformatie B ondergaat om B' te verkrijgen?

Mijn tweede vraag gaat over de volgende stap die zegt een matrix P' te definieren als

P' = -diag(-6,0,4)^(-1).B'

Maar hoe is dat mogelijk als uw matrix diag(-6,0,4) singulier is zoals in dit geval?

Ik hoop echt dat iemand mij kan helpen want ik zit een beetje in de knoei hierbij...

Al heel erg bedankt op voorhand!

Berichten: 35

Re: Kwadrieken

Ik merkte al dat mijn fout zat in het feit dat mijn matrixvoorstelling die was van 3 onbekenden terwijl er maar twee zijn (x,y). Daarbij blijft wel de vraag in welke transformatie B ondergaat om B' te verkrijgen...?

Berichten: 336

Re: Kwadrieken

Je hebt Q dus al gekozen als een basis transformatie naar de eigenvectoren van A. Als je Q goed kiest(genormaliseert) dan geldt Q.Q^T = I

Met deze truc kun je je vergelijking omgooien als volgt.

Kies X' = Q^T.X (equivalent met X = Q X')

Nu kun je de volgende stappen maken

X^T.A.X + 2.B^T.X-24 = 0

X^T.Q.Q^T.A.Q.Q^T.X+2.B^T.Q.Q^T.X-24=0

X'^T.Q^T.A.Q.X'+2.B^T.Q.X'-24=0

X'^T.diag(-6,0,4).X'+2.B^T.Q.X'-24=0

Kortom B'=Q^T.B
Duct tape is like the force: it has a dark side, a light side and it holds the universe together.

Reageer