Springen naar inhoud

Een verzameling en zijn rand


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 januari 2010 - 21:15

http://homepages.vub...pe/analyse1.pdf

Ik loop vast in het bewijsje van Stelling 3.3.9.
We willen bewijzen dat de unie van V met zijn rand gesloten is.

We moeten dus aantonen dat de verzameling V al haar verdichtingspunten bevat.

Om dit te bewijzen, gaan we de verschillende mogelijkheden systematisch na.

Voor elk van de mogelijkheden moeten we kunnen besluiten dat, als het punt een verdichtingspunt van de verzameling is, het punt ofwel moet behoren tot V zelf, of tot zijn rand.

De algemene redenering vat ik dus wel, maar vanaf:

'Omdat \vec{a} een verdichtingspunt is van V unie rand(V), bevat B...'
Dat is de laatste regel van het bewijs die ik begrijp.

Kan iemand me nog helpen voor de laatste 4 regels?

Erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 januari 2010 - 21:53

We moeten dus aantonen dat de verzameling V al haar verdichtingspunten bevat.

Nee, dat V unie rand(V) alle verdichtingspunten bevat... Deze verzameling noem ik verder voor het gemak even W.

'Omdat \vec{a} een verdichtingspunt is van V unie rand(V), bevat B...'
Dat is de laatste regel van het bewijs die ik begrijp.

Kan iemand me nog helpen voor de laatste 4 regels?

We kiezen een verdichtingspunt a in W dat geen inwendig punt is en we willen tonen dat het tot de rand van V behoort, hetgeen betekent dat elke omgeving van a zowel punten van V als punten buiten V bevat.

Neem een willekeurige maar vaste omgeving B van a. Uit deze omgeving kan je zeker een x nemen die tot W behoort, want a is een verdichtingspunt van W. Het zit in W, dus:
- Ofwel zit x in V,
- Ofwel zit het in rand(V); dan kan je een nieuwe omgeving B' van x nemen, voldoende klein zodat B' volledig binnen B ligt. Omdat deze volledig binnen B ligt, bevat de omgeving B' zeker een y in V; dus y ligt ook in de doorsnede van de oorspronkelijke omgeving B met V, dus y zit in V.

In beide gevallen vinden we dus een element van V (resp. x en y), elke omgeving van a bevat dus punten van V. Het bevat echter ook steeds punten buiten V, want we hadden verondersteld dat a geen inwendig punt van V was. Conclusie: a moet op de rand liggen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 januari 2010 - 21:58

Klaar en helder uitgelegd. Het 'waas' dat ik bij die laatste regels had, is verdwenen!
Nogmaals bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 januari 2010 - 22:00

Het verbaast me wel vaker (in het algemeen, ik heb het over niets of niemand specifiek) hoe het blijkbaar soms volstaat om hetzelfde nog eens te zeggen, maar met iets meer en/of andere bewoordingen :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 11 januari 2010 - 22:07

Ja da's waar. Het gaat soms om een subtiele verwoording die het inzicht bijbrengt (...of niet :eusa_whistle:)
Maar jouw verwoordingen zijn altijd erg duidelijk!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures