Een verzameling en zijn rand

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 11-01-'10, 21:15

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Een verzameling en zijn rand

http://homepages.vub.ac.be/~scaenepe/analyse1.pdf

Ik loop vast in het bewijsje van Stelling 3.3.9.

We willen bewijzen dat de unie van V met zijn rand gesloten is.

We moeten dus aantonen dat de verzameling V al haar verdichtingspunten bevat.

Om dit te bewijzen, gaan we de verschillende mogelijkheden systematisch na.

Voor elk van de mogelijkheden moeten we kunnen besluiten dat, als het punt een verdichtingspunt van de verzameling is, het punt ofwel moet behoren tot V zelf, of tot zijn rand.

De algemene redenering vat ik dus wel, maar vanaf:

'Omdat \vec{a} een verdichtingspunt is van V unie rand(V), bevat B...'

Dat is de laatste regel van het bewijs die ik begrijp.

Kan iemand me nog helpen voor de laatste 4 regels?

Erg bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 11-01-'10, 21:53

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Een verzameling en zijn rand

We moeten dus aantonen dat de verzameling V al haar verdichtingspunten bevat.
Nee, dat V unie rand(V) alle verdichtingspunten bevat... Deze verzameling noem ik verder voor het gemak even W.
In fysics I trust schreef:'Omdat \vec{a} een verdichtingspunt is van V unie rand(V), bevat B...'

Dat is de laatste regel van het bewijs die ik begrijp.

Kan iemand me nog helpen voor de laatste 4 regels?
We kiezen een verdichtingspunt a in W dat geen inwendig punt is en we willen tonen dat het tot de rand van V behoort, hetgeen betekent dat elke omgeving van a zowel punten van V als punten buiten V bevat.

Neem een willekeurige maar vaste omgeving B van a. Uit deze omgeving kan je zeker een x nemen die tot W behoort, want a is een verdichtingspunt van W. Het zit in W, dus:

- Ofwel zit x in V,

- Ofwel zit het in rand(V); dan kan je een nieuwe omgeving B' van x nemen, voldoende klein zodat B' volledig binnen B ligt. Omdat deze volledig binnen B ligt, bevat de omgeving B' zeker een y in V; dus y ligt ook in de doorsnede van de oorspronkelijke omgeving B met V, dus y zit in V.

In beide gevallen vinden we dus een element van V (resp. x en y), elke omgeving van a bevat dus punten van V. Het bevat echter ook steeds punten buiten V, want we hadden verondersteld dat a geen inwendig punt van V was. Conclusie: a moet op de rand liggen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 11-01-'10, 21:58

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Een verzameling en zijn rand

Klaar en helder uitgelegd. Het 'waas' dat ik bij die laatste regels had, is verdwenen!

Nogmaals bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 11-01-'10, 22:00

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Een verzameling en zijn rand

Het verbaast me wel vaker (in het algemeen, ik heb het over niets of niemand specifiek) hoe het blijkbaar soms volstaat om hetzelfde nog eens te zeggen, maar met iets meer en/of andere bewoordingen :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 11-01-'10, 22:07

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Een verzameling en zijn rand

Ja da's waar. Het gaat soms om een subtiele verwoording die het inzicht bijbrengt (...of niet :eusa_whistle: )

Maar jouw verwoordingen zijn altijd erg duidelijk!
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”