Springen naar inhoud

[Wiskunde] Translaties van derdegraadsfuncties


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 augustus 2005 - 13:37

Ik kom een heel mooi vraagje/bewijs tegen in m'n leerboek wiskunde maar vind niet echt goed hoe ik deze op papier mooi kan uitleggen ... Iemand die me kan helpen hier mee ? :shock:

Elke parabool y = ax≤ + bx + c kan d.m.v. verschuivingen en verticale uitrekkingen afgeleid worden uit de parabool y = x≤. Kan men op dezelfde manier zeggen dat elke derdegraadskromme met vergelijking y = ax≥ + bx≥ + cx +d ook door dergelijke transformaties uit y = x≥ afgeleid kan worden ? Indien je antwoord 'ja' is, bewijs dit dan; geef in het andere geval een tegenvoorbeeld.


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 augustus 2005 - 13:45

Het antwoord is nee dat kan niet. Iedere derdegraadskromme die een keer slingert is een tegenvoorbeeld (maar er zijn er meer), bijvoorbeeld x3-x.

#3

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 augustus 2005 - 13:50

MAarja, ik moet dit dus wel kunnen bewijzen en deftig op papier kunnen zetten als m'n men zo een oefening laat oplossen op m'n herexamen :/

Dat het niet kon had ik zelf al gevonden :shock:

#4

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 augustus 2005 - 14:05

MAarja, ik moet dit dus wel kunnen bewijzen en deftig op papier kunnen zetten als m'n men zo een oefening laat oplossen op m'n herexamen :/

Dat het niet kon had ik zelf al gevonden  :shock:

Dan zou ik het bewijzen door naar de maxima en minima te kijken. Het is eenvoudig om aan te tonen dat het aantal maxima en minima bij translaties en ook bij rekken in verticale richting ongewijzigd blijft: als de afgeleide van een derdegraads kromme 0 is voor x=a (dus P'(a)=0) dan is bij een translatie y --> y'+B dat nog steeds zo en bij een translatie x --> x'+C geldt P'(x')=0 voor x'=a-C. Voor rekken in y-richting blijft een nulpunt van de afgeleide ongewijzigd. Je kunt van een derdegraads kromme met 2 extremen dus nooit, door transleren en rekken, een derdegraads kromme zonder extremen maken.
Je kunt ook de omgekeerde weg bewandelen en uitgaan van x3. De afgeleide van die functie is altijd groter dan 0, behalve in x=0 waar de afgeleide 0 is. Je kunt gemakkelijk bewijzen dat iedere functie die door transleren of rekken in verticale richting hieruit is afgeleid de eigenschap blijft houden dat de afgeleide in 1 punt 0 is en dat de afgeleide op alle andere punten groter dan 0 is.

#5

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 augustus 2005 - 15:51

Hehe begrijp er geen snars van, achja hehe, klaat die vraag wel voor wat ze is :shock:

#6

Bert

    Bert


  • >250 berichten
  • 718 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 augustus 2005 - 16:43

Hehe begrijp er geen snars van, achja hehe, klaat die vraag wel voor wat ze is  :shock:


Dan maar rechtstreeks:

Stel dat je P(x)=x3 wilt omvormen naar Q(x)=x3-x. met behulp van de geschetste middelen. Dat komt erop neer dat je zou moeten kunnen schrijven:
Q(x)=αP(x+ β)+δ ofwel:
α(x+β)3+δ= αx3+ 3αβx2+ 3αβ2x+ αβ3+ δ= x3-x.
Hieruit volgt:

α=1
3αβ=0
3αβ2=-1
αβ3+δ=0

En dat stelsel is strijdig zoals je snel kunt zien.

#7

Cycloon

    Cycloon


  • >1k berichten
  • 4810 berichten
  • VIP

Geplaatst op 07 augustus 2005 - 17:32

Zoals jij het uitlegt heb ik het ook ergens anders gezien, maar in dat eindstelsel kwamen vierkantswortels en dergelijke voor, lijkt me niet zo simpel om er het best passende bewijs bij te geven. Maar ik zal jouw manier ff bestuderen en proberen herop te bouwen :wink:





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures