Springen naar inhoud

Bepaal afgeleide bij logistische groeiformule


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2010 - 14:00

Dag iedereen,

Weer zo'n eentje:
Opgave.jpg

De bijbehorende vraag:
Vraag.jpg

Voor het eerste deel moet je dus de afgeleide bepalen. Maar hoe dien je hier precies te werk te gaan?

Ik wilde meteen de quotientformule toepassen, maar dat is fout omdat de teller niks anders dan een constante / getal is. Maar hoe gaan we dan wel verder?

De gegeven oplossing (kom ik helaas niet wijs uit):
Verborgen inhoud
Oplossing.jpg


Alvast hartstikke bedankt!!!

Fons

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 januari 2010 - 14:10

De quotiŽntregel (werkt wel, maar) is inderdaad niet nodig; enkel in de noemer staat een functie van t die ik even f(t) noem, dan geldt met de kettingregel:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2010 - 15:00

De quotiŽntregel (werkt wel, maar) is inderdaad niet nodig; enkel in de noemer staat een functie van t die ik even f(t) noem, dan geldt met de kettingregel:

LaTeX


Heel erg bedankt voor de snelle reactie!

Deze manier staat inderdaad toe de afgeleide zeer snel en gemakkelijk te bepalen.

Bij het vervolg van de som begrijp ik wat mij te doen staat, namelijk de afgeleide en gegeven afgeleide zo 'bewerken' dat ze gelijk aan elkaar zijn. Dan is het immers bewezen.

Maar dat is makkelijker gezegd dan gedaan, het loopt namelijk mis bij het laatste stuk; ik krijg de zelf berekende dN/dT niet gelijk aan de gegeven dN/dT. Ik vul N in in de gegeven dN/dT en probeer dan beide functies gelijk te stellen. Maar dat lukt niet / ik vergeet een stap.

Waar zou het mis kunnen lopen?

Hoor het heel graag.

Vriendelijke bedankt!

Fons

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 januari 2010 - 15:35

Kan je eens laten zien wat je gevonden hebt voor de (eerste) afgeleide, N'(t) = dN/dt?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2010 - 16:01

Kan je eens laten zien wat je gevonden hebt voor de (eerste) afgeleide, N'(t) = dN/dt?


Tuurlijk!
photo.jpg

Merci bij voorbaat!

Fons

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 januari 2010 - 16:09

Je afgeleide ziet er goed uit, eventueel vereenvoudig je die nog wat. Nu moet je gewoon de opgegeven gelijkheid aantonen, in de andere richting is dat misschien gemakkelijker. Vertrek dus van het rechterlid, rN(1-K/N), en vervang twee keer de N door de oorspronkelijke uitdrukking voor N. Vereenvoudig en probeer te herwerken tot de afgeleide die je eerder vond.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2010 - 17:36

Bij de afgeleide kun je de -r tegen de - wegstrepen en dat geeft dus +r. Meer mogelijkheden wat betreft vereenvoudigen zie ik niet.

Je suggesties vind ik lastig. Ik krijg het niet omgezet in echte wiskunde stappen.

Ik heb het volgende:
photo_1.jpg

Ik heb beide formules boven elkaar gezet en de vormen vergeleken. Hoe ze verschillen heb ik erbij geschreven. (Het woordje weg is alleen wel weggevallen...)

Nu is het dus de vraag hoe krijg je die verschillen? En daar loop ik dus weer terug vast...

Ik hoor graag of de foto genoeg duidelijkheid verschaft / laat zien waar ik de mist in ga :eusa_whistle:.

Alvast hartelijk bedankt!

Fons

Bijgevoegde miniaturen

  • photo_1.jpg

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 januari 2010 - 20:46

Je hebt dus:

LaTeX

Nu kan je die K met alvast 1 macht uit de noemer al terug N noemen, je hebt dan:

LaTeX

Probeer nu volgend trucje: vul de teller aan met +1-1 om de deling uit te voeren, wat blijf er over?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2010 - 22:01

Je hebt dus:

LaTeX



Nu kan je die K met alvast 1 macht uit de noemer al terug N noemen, je hebt dan:

LaTeX

Probeer nu volgend trucje: vul de teller aan met +1-1 om de deling uit te voeren, wat blijf er over?


Oke, de eerste stap zie ik!

Nu de tweede nog; hoe bedoel je vul de teller aan met +1-1? De verwarring ontstaat omdat het nu voelt alsof we 'lukraak' getallen toevoegen; dat we doen we natuurlijk niet. Maar toch. Het doel is in ieder geval om datgene dat we nu hebben om te herwerken tot r N (1- N/K). De r N hebben we al, het tweede deel moet nog gevonden worden. Maar het voorgestelde trucje snap ik (nog) niet.

Kun je wat meer erover vertellen?

Wederom super bedankt!

Fons

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 januari 2010 - 23:03

We doen het niet "zomaar", kijk eens goed naar de teller en de noemer: de noemer is nu 1 + de teller; dus:

LaTeX

In het rechterlid is de eerste breuk nu 1 en in de tweede herken je bijna N...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2010 - 08:45

Ik snap hem :eusa_whistle:!

Door dit trucje toe te passen deelt het eerste deel tegen elkaar weg en wordt het dus 1. Het tweede stuk is bij goed kijken niks anders dan N/K.

En dat geeft datgene dat we zochten, nl. N'(t)=r*N*(1-N/K).

Ohh, ik ben zo blij dat ik het nu ook inzie!

SUPER bedankt!

Fons

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 januari 2010 - 09:10

Inderdaad, prima! Misschien lukt het nu ook voor de tweede afgeleide.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2010 - 09:19

Oke, bij het tweede deel loop ik ook vast :eusa_whistle:.

Zie hier beneden mijn volledige redenering:
photo_2.jpg

Ik hoor graag wat jullie er van denken.

Alvast hartelijk bedankt!

Fons

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 januari 2010 - 09:48

De notatie voor de tweede afgeleide is (d≤N)/(dt≤) en niet (d≤N)/(d≤t), dan is die verwarring misschien al weg.

Je begint goed met de tweede afgeleide te bepalen, door de eerste nog eens af te leiden. Alleen moet je opletten: het is de afgeleide naar t, en niet naar N. Wat je nu gedaan hebt is dN/dt afleiden naar N. Dat is geen verloren werk, want enkel "in die N" zit de functie van t. Maar door de kettingregel moet je dan telkens nog vermenigvuldigen met de afgeleide van N naar t, dus er komt dan nog een factor N'(t) bij.

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Fons

    Fons


  • >100 berichten
  • 165 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2010 - 09:56

De notatie voor de tweede afgeleide is (d≤N)/(dt≤) en niet (d≤N)/(d≤t), dan is die verwarring misschien al weg.

Je begint goed met de tweede afgeleide te bepalen, door de eerste nog eens af te leiden. Alleen moet je opletten: het is de afgeleide naar t, en niet naar N. Wat je nu gedaan hebt is dN/dt afleiden naar N. Dat is geen verloren werk, want enkel "in die N" zit de functie van t. Maar door de kettingregel moet je dan telkens nog vermenigvuldigen met de afgeleide van N naar t, dus er komt dan nog een factor N'(t) bij.

LaTeX


Merci voor de snelle respons!

Oke, eerste opmerking verduidelijkt inderdaad alweer een boel.

Tweede ding, ik ben mee wat betreft de kettingregel en dergelijke. Ik snap wel niet zo goed wat er nu precies bedoeld wordt met 'afleiden naar t'. Wat is het verschil tussen afleiden naar t en afleiden naar N? Wanneer gebruik je welke? Hoe weten we dat we nu moeten afleiden naar t en niet naar N (zoals ik dus deed).

Hoor het graag!

En, nogmaals, merci!

Fons





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures