Springen naar inhoud

Vergelijking van cirkel opstellen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

mr. James

    mr. James


  • >100 berichten
  • 103 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2010 - 16:32

Hallo

Op een test wiskunde kregen we de volgende oefening:

Stel de vergelijking van de cirkel op met raaklijnen:
A <-> y = -2x - 16
B <-> y = -2x + 4
en de cirkel gaat door het punt P(1,2)


Ik weet dat:
de raaklijnen A en B evenwijdig zijn (via richtingscoŽfficiŽnt )
de algemene vgl van een cirkel: C <-> ( x - a )≤ + ( y - b ) ≤ = R≤

Dus moet ik a en b (coŲrdinaten van m) en R vinden...


De docent zegt dat je dit moest uitwerken via de afstand van een punt tot rechte. Door de afstand van middelpunt m ( co(m) = (a,b) ) tot rechte A gelijk te stellen aan de afstand van m tot rechte B.

Maar ik snap niet hoe je op deze manier de vgl van de cirkel kunt bepalen.
Want als ik de afstand [A,m] en [B,m] aan elkaar gelijkstel dan krijg ik:

| 2a + b + 16 | = | 2a + b - 4 |

(beide leden moet je ook eerst delen door V( 2≤ + 1≤) = V( 5 ) , dus dit valt in beide leden weg denk ik..

maar dan bekom je uiteindelijk gewoon dat 16 = -4 ?


Kan iemand uitleggen hoe je wel te werk moet gaan om dit op deze manier op te lossen..

alvast bedankt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 januari 2010 - 16:43

VW 1: afstand tot het middelpunt is voor beide rechte dezelfde
VW 2: punt 1,2 ligt op de rechte

Je hebt twee voorwaarden voor a en b en dus kan je beginnen rekenen.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#3

mr. James

    mr. James


  • >100 berichten
  • 103 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2010 - 17:16

VW 1: afstand tot het middelpunt is voor beide rechte dezelfde
VW 2: punt 1,2 ligt op de rechte

Je hebt twee voorwaarden voor a en b en dus kan je beginnen rekenen.


Dat weet ik (al is het zo dat punt P op de cirkel ligt..)
Maar hoe kun je deze voorwaarden uitwerken?
Als ik de afstand van A tot m en B tot m aan elkaar gelijk stel kom ik uit dat:
2a + b + 16 = 2a + b - 4
maar dan vallen a en b weg?

#4

mathfreak

    mathfreak


  • >1k berichten
  • 2456 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2010 - 19:32

Hint: een raaklijn aan een cirkel staat altijd loodrecht op de straal naar het raakpunt. Je weet hoe de vergelijkingen van de raaklijnen er uit zien en wat het middelpunt van de cirkel is.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

#5

mr. James

    mr. James


  • >100 berichten
  • 103 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2010 - 19:48

Hint: een raaklijn aan een cirkel staat altijd loodrecht op de straal naar het raakpunt. Je weet hoe de vergelijkingen van de raaklijnen er uit zien en wat het middelpunt van de cirkel is.


Ok ik weet dat de raaklijnen loodrecht staan op de straal. Maar ik weet het middelpunt niet (is toch gevraagd?).
En ik zou het willen oplossen via de afstand van middelpunt tot raaklijnen... Ik vermoed wel dat er ook andere manieren zijn om het middelpunt te bepalen..
Maar het moet via:

d(m,A) = | 2a + b + 16 | / V(5)
=
d(m,B) = | 2a + b - 4 | / V(5)

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9899 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 14 januari 2010 - 20:46

Je weet op welke lijn het middelpunt ligt en je kent de straal van de cirkel.

#7

JeanJean

    JeanJean


  • >250 berichten
  • 393 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2010 - 21:54

Stel de vergelijking van de cirkel op met raaklijnen:
A <-> y = -2x - 16
B <-> y = -2x + 4
en de cirkel gaat door het punt P(1,2)


---
Je moet het idd met de afstandsformule gaan doen....'m' staat hier voor middelpunt.
d(m,A) = d(m,E) (en moet dus reŽel resultaat leveren)

Je krijgt dus: |y + 2x + 16| = |y+2x-4| (de noemer valt idd weg)
en je weet ook: (x-1)≤ + (y-2)≤ = 25

Die eerste vergelijking moet je nog uitwerken; uiteindelijk haal je uit die vergelijking twee nieuwe mogelijke vergelijkingen na weghalen van de 'absolute waard' tekens. Dit betekent dat er twee cirkels als oplossing zijn.

Vervolgens elke vergelijking die je haalt uit de vergelijking van de afstondsformule samenvoegen met de tweede volgens mij en oplossen.

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9899 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 14 januari 2010 - 22:31

Op welke lijn y=-2x-... ligt het middelpunt en wat is de straal?

#9

JeanJean

    JeanJean


  • >250 berichten
  • 393 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2010 - 20:51

Dag Mr. James,

Laat ik me eens duidelijker zijn dan gisteren. Alles uit je eerste post is correct maar denk eens goed na wat je doet bij het invullen van dat punt P in de laatste stap....Dat punt P is helemaal niet gediffinieerd als evenver van de ene raaklijn en de andere...Wel het middelpunt. 't Is belangrijk dat je deze fout inziet.

Je eerste vergelijking is dus:
| 2x + y + 16 | = | 2x + y - 4 |

Nu moeten die absolute waarde tekens weg:
2x + y + 16 = 2x + y -4 (1)
OF 2x + y + 16 = -2x-y + 4

Je ziet dat (1) een valse vergelijking is, dus vanaf nu werken we enkel verder met 2x + y + 16 = -2x-y + 4
of beter geschreven: 2y + 4x + 12 = 0

Als we nu nog 1 vergelijking vinden kunnen we x en y vinden, en dat zijn de middelpunten.
We weten - zoals hierboven al werd aangehaald - dat een raaklijn 1 snijpunt heeft met een cirkel en dat de rechte gevormd met dat snijpunt en die cirkel loodrecht staat op de raaklijn:

y-2 = w(x - 1)

Die w, de rico, kunnen we ook terugvinden! Want het punt P(1,2) is het snijpunt van de cirkel met raaklijn B, controleer zelf maar eens. Dus de rico van de rechte door middelpunt en P is tegensteld aan rico van die raaklijn D, dus 0,5.

y-2 = 0,5(x-1)

Je hebt dus twee vergelijkingen:
y-2 = 0,5(x-1)
2y + 4x + 12 = 0

Los deze nu op en je vindt je middelpunt (er is maar 1 cirkel als oplossing!), als je middelpunt hebt volgt straal gemakkelijk en vergelijking cirkel.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures