Dit is de functie die ik wil transformeren:
\(f(u) = e^{-|t|} e^{-iut}\)
De integraal definieer ik als volgt:\((\Im f)(u) = \int_{-\infty}^{\infty}e^{-|t|}e^{-iut} dt = \int_{-\infty}^{0}e^{t}e^{-iut} dt + \int_{0}^{\infty}e^{-t}e^{-iut} dt \)
Dat wordt dan:\([\frac{1}{1-iu}\cdot e^{(1-iu)t}]_{-\infty}^0 + [\frac{1}{-1-iu}\cdot e^{(-1-iu)t}]_{0}^\infty \)
Dikke vette prima dus! (volgens mij althans) Maar nu moet ik de waardes gaan invullen, maar wat vul ik hier dan in? En hoe reken ik dat uit met de complexe factor?Mij is verteld, dat het antwoord als volgt is:
\((\Im f)(u) = \frac{1}{1-iu} - \frac{1}{-1-iu}\)
Hoe kom ik met denkwerk naar die oplossing? Ik zie niet waar de gehele Euler reeks naartoe verdwijnt, die convergeren blijkbaar naar 0 o.i.d., maar ik mis het inzicht om te zien waarom. Specifiek: Ik denk dat ik niet snap hoe ik met deze oneindige grenzen en het complexe getal om moet gaan, het is toch een probleem dat met limieten wordt gedaan? (als t naar oneindig dan ... etc. en dat daarom e^0 wordt en dus 1! Is dat zo? Maar dat zie ik iig niet. )
