Vectoren, afstand lijn tot punt

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 703

Vectoren, afstand lijn tot punt

Hallo,

Ik ben bezig met leren voor een tentamen over o.a. vectorrekening. Op zich lukt het allemaal goed tot nu toe, het enige waar ik nog wat moeite mee heb is het berekenen van de afstand van een punt tot een lijn. In het boek en de aantekeningen van de docent stond het helaas niet heel duidelijk uitgelegd, en op internet heb ik deze uitleg gevonden. Ze stellen daar dat de afstand tussen een lijn met vergelijking
\(\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{v}\)
en een punt met positievector
\(\vec{p}\)
gelijk is aan:
\(d=\frac{|(\vec{p}-\vec{r_0})\times \vec{v}|}{|\vec{v}|}\)
Ik snap echter niet hoe ze aan die formule komen? Kan iemand dat misschien uitleggen?

Alvast bedankt!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vectoren, afstand lijn tot punt

Zie hier.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 703

Re: Vectoren, afstand lijn tot punt

Hmm, ik snap hun notatie niet helemaal. Wat doen ze bij (2) ?

Gebruikersavatar
Berichten: 35

Re: Vectoren, afstand lijn tot punt

Bedenk wat een slope zou kunnen zijn.
Wetenschap is een opeenvolging van mislukkingen waarbij je iets nieuws ontdekt.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vectoren, afstand lijn tot punt

Ik weet natuurlijk niet wat jullie allemaal precies gezien hebben (en in welke notatie), in dat boek...

Ik gaf je overigens per ongeluk de link voor het 2D-geval, hier vind je het in 3D.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 703

Re: Vectoren, afstand lijn tot punt

Ik had die 3d versie inmiddels ook al gevonden.

In ons boek ("Calculus, a complete course" van R. Adams) en de aantekeningen van de docent (waar we voornamelijk mee gewerkt hebben) wordt een vector wel geschreven als
\(\vec{v}=a \hat{i}+b \hat{j}+c\hat{k}=\left( \begin{array}{1} a \\ b \\ c \end{array}\right )\)
Wat ze bij die 2D versie gebruiken zal wel ongeveer op hetzelfde neerkomen, alleen die stap die ze bij 2 uitvoeren is Chinees voor mij :eusa_whistle:

Maar wat ik me eigenlijk afvroeg was of er een logische verklaring was voor dat kruisproduct wanneer je t bekijkt als het oppervlak tussen de vector v en (p-r0).

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vectoren, afstand lijn tot punt

We zullen het even samen doen, ik baseer me op de tekening die staat in de link die je zelf gaf.

Begrijp je dat de projectie van p-a op de rechte een factor sin(t) geeft? De gezochte afstand is dus:
\(d = \left| {\vec p - \vec a} \right|\left| {\sin t} \right| = \frac{{\left| {\vec p - \vec a} \right|\left| {\sin t} \right|\left| {\vec v} \right|}}{{\left| {\vec v} \right|}}\)
In de laatste gelijkheid heb ik gewoon teller en noemer vermenigvuldigd met |v|. Maar t is precies de hoek tussen p-a en v, dus is de laatste teller precies een uitdrukking voor de norm van het vectorieel product van deze twee vectoren:
\(d = \left| {\vec p - \vec a} \right|\left| {\sin t} \right| = \frac{{\left| {\vec p - \vec a} \right|\left| {\sin t} \right|\left| {\vec v} \right|}}{{\left| {\vec v} \right|}} = \frac{{\left| {\left( {\vec p - \vec a} \right) \times \vec v} \right|}}{{\left| {\vec v} \right|}}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 703

Re: Vectoren, afstand lijn tot punt

Ja, ik snapte het net ook opeens.
vectors.png
vectors.png (3.48 KiB) 1125 keer bekeken
Als je de oppervlakte van het parallellogram opgespannen door
\(\vec{p}-\vec{r_0}\)
en
\(\vec{v}\)
bekijkt, dan is die dus gelijk aan de absolute waarde van het uitproduct van die twee vectoren. De oppervlakte van een parallellogram is ook gelijk aan de hoogte maal de lengte van de zijde, en dan is 't logisch dat je dus die formule eruit krijgt.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Vectoren, afstand lijn tot punt

Oké, prima! Aangezien het om een afstand gaat (en afh. van de hoek, de sinus ook negatief kan zijn), staan er absolute waarden rond.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer