Springen naar inhoud

Wave equation


  • Log in om te kunnen reageren

#1

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2010 - 16:43

Wave equation LaTeX
where LaTeX

with
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Solution Step 1. Transform to homogeneous conditions
Split LaTeX
with
LaTeX
LaTeX
LaTeX constant

See that LaTeX

with homogeneous boundry conditions
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Step 1 completed!

Solution Step 2. See the trivial solution
w(x,t) = 0 is a solution to the wave equation LaTeX
(wave is at rest...)

Step 2 accomplished!

Solution Step 3. Find the general solution of LaTeX
Seperate LaTeX and solve!
LaTeX
LaTeX
LaTeX

LaTeX
LaTeX

Case 1: LaTeX
LaTeX
LaTeX

LaTeX geeft LaTeX
LaTeX geeft vervolgens LaTeX
dus LaTeX en LaTeX , wat de triviale oplossing was die we al hadden.

Case 2: LaTeX
LaTeX
LaTeX

LaTeX geeft LaTeX
LaTeX geeft LaTeX en LaTeX
dus LaTeX en LaTeX , wat wederom de triviale oplossing was die we al hadden.

Case 3: LaTeX
LaTeX
LaTeX

LaTeX geeft LaTeX
LaTeX geeft LaTeX
dus LaTeX
en LaTeX

Algemene oplossingen voor LaTeX en LaTeX
LaTeX
LaTeX

Step 3 successful!

Solution Step 4. Terug naar LaTeX

LaTeX


Mag je hier ťťn som van maken?
LaTeX
De LaTeX zou je dan weg kunnen laten, want die gaat dan op in LaTeX en LaTeX .

LaTeX geeft ...
LaTeX geeft ...

Hoe gaat dit verder? Wie kan helpen?

Step 4 Not completed

Veranderd door phi hung, 17 januari 2010 - 16:44

Einstein meets Pythagoras E = m(a2+b2)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 18:07

Solution Step 4. Terug naar LaTeX

geeft ...
LaTeX geeft ...

Hoe gaat dit verder? Wie kan helpen?

Step 4 Not completed

Begin alvast eens met die eerste voorwaarde (met de afgeleide), daar kan je volgens mij de b's uithalen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2010 - 18:14

LaTeX geeft ...
Ik zie dat differentiŽren naar LaTeX en LaTeX invullen in LaTeX , geeft dat LaTeX .
Dan wordt LaTeX


LaTeX geeft ...
LaTeX invullen in LaTeX , geeft LaTeX
LaTeX
LaTeX

Het lijkt mij op een fourrier reeks. Maar als we de LaTeX 's hebben bepaald, zijn er dan niet nog oneindig veel oplossingen mogelijk voor LaTeX en LaTeX ?
Bijvoorbeeld als LaTeX (ik noem maar iets willekeurig), dan voldoet LaTeX , LaTeX , LaTeX , LaTeX , LaTeX voor LaTeX , en ook vele andere oplossingen zullen voldoen, om er nog maar ťťn te noemen: LaTeX , LaTeX , LaTeX voor LaTeX . De opgave met randvoorwaarden lijkt niet compleet! Of zie ik iets verkeerd???

Veranderd door phi hung, 17 januari 2010 - 18:16

Einstein meets Pythagoras E = m(a2+b2)

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 18:21

LaTeX

geeft ...
Ik zie dat differentiŽren naar LaTeX en LaTeX invullen in LaTeX , geeft dat LaTeX .
Dan wordt LaTeX

Dat klopt, maar waarom nog a's en c's? De a's hadden we eerder al laten wegvallen en die zijn hier dus ook niet meer nodig, je hebt dus enkel nog c's; al mag je die natuurlijk ook a's noemen :eusa_whistle:. Je hebt dus:

LaTeX

Het linkerlid heeft nu inderdaad precies de vorm van een Fourierreeks voor een oneven functie (sinussen), de a's volgen dus als FouriercoŽfficiŽnten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2010 - 19:14

Ik begrijp nog niet waarom je de som mag verenigen. In het algemeen geldt niet LaTeX

Je kunt zeggen LaTeX .
Dus LaTeX

Stel, we kiezen LaTeX .
Levert LaTeX en LaTeX voor LaTeX dan dezelfde golffunctie LaTeX
als LaTeX en LaTeX voor LaTeX ?

LaTeX :
LaTeX

LaTeX :
LaTeX

Zijn dit niet twee verschillende wave functies die beiden voldoen aan de boundry conditions?
Einstein meets Pythagoras E = m(a2+b2)

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 19:21

Ik begrijp nog niet waarom je de som mag verenigen. In het algemeen geldt niet LaTeX

Klopt; maar volgens mij kan je het toch tot een oplossing van die voorgestelde vorm herleiden.

Je kan zeggen dat het plaatsafhankelijke probleem voor elke n een oplossing gaf van de vorm:

LaTeX

En het tijdsafhankelijke probleem voor elke n een oplossing van de vorm:

LaTeX

Een oplossing van het volledige probleem is het product, dus voor elke n is een oplossing:

LaTeX

Omdat de DV lineair is, geldt vervolgens dat een lineaire combinatie nog steeds een oplossing is:

LaTeX

En dan heb je met de vorige redenering nog steeds alle b's gelijk aan 0 en de a's als FouriercoŽfficiŽnten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 januari 2010 - 20:58

Aha, je neemt eerst een oplossing van LaTeX en een oplossing van LaTeX , vervolgens neem je daar het product van en heb je een oplossing voor LaTeX en daarna neem je alle lineaire combinaties.

Ik had voor LaTeX dus het product van alle lineaire combinaties van X(x) en alle lineaire combinaties van T(t).

Maar dan ben ik er nog niet helemaal uit. Voor een oplossing van LaTeX had je dan toch ook kunnen nemen
LaTeX

Kom je dan niet tot andere wave functies?
Einstein meets Pythagoras E = m(a2+b2)

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 21:08

Het zou inderdaad kunnen dat je op die manier niet alle oplossingen hebt; zie echter ook hier bijvoorbeeld.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 maart 2010 - 16:06

Maar dan ben ik er nog niet helemaal uit. Voor een oplossing van LaTeX

had je dan toch ook kunnen nemen
LaTeX

Kom je dan niet tot andere wave functies?

Ik ben er al uit.
LaTeX voldoet niet aan LaTeX .
Elke n hoort bij een bepaalde lambda.
Einstein meets Pythagoras E = m(a2+b2)

#10

phi hung

    phi hung


  • >250 berichten
  • 284 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 maart 2010 - 11:49

Wave equation LaTeX


where LaTeX

with
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Solution Step 1. Transform to homogeneous conditions
Split LaTeX
with
LaTeX
LaTeX
LaTeX constant

See that LaTeX

with homogeneous boundry conditions
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

Step 1 completed!

De derde boundary condition voor LaTeX moet zijn:
LaTeX
Einstein meets Pythagoras E = m(a2+b2)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures