Springen naar inhoud

Complexe vergelijking oplossen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Emveedee

    Emveedee


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 21:28

Hallo,

Ik ben bezig met complexe vergelijkingen, maar ik heb moeite te beginnen met de opgaven, ik weet niet goed wat ik moet doen.
Als iemand even een hint wil geven zou dat erg fijn zijn!

LaTeX

Edit:
De opgave is: Bepaal de verzameling LaTeX die voldoet aan onderstaande gelijkheid. Schets deze verzameling in het complexe vlak.

Veranderd door Emveedee, 17 januari 2010 - 21:30

Give a man a fire and he's warm for a day. Set a man on fire and he's warm for the rest of his life.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 21:43

Je kan z gelijkstellen aan x+iy om dan de normen uit te rekenen en te vereenvoudigen.

Je kan ook "meetkundig redeneren" in plaats van rekenen, de modulus is een afstand...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Emveedee

    Emveedee


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 21:47

LaTeX
LaTeX

Ik zie niet hoe nu verder.. Ik vind het me ook erg lastig om hier iets bij voor te stellen in het complexe vlak, ook als ik het als 'afstanden' bekijk.
Give a man a fire and he's warm for a day. Set a man on fire and he's warm for the rest of his life.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 21:49

Laten we dan eerst "domweg rekenen" en achteraf misschien kijken hoe we dat hadden kunnen "inzien" (meetkundig).

Weet je hoe je de modulus van een complex getal uitrekent? Dus als z = a+bi, dan is |z| = |a+ib| = ...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Emveedee

    Emveedee


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 21:53

Ik denk zo:
LaTeX , of misschien met:
LaTeX

Veranderd door Emveedee, 17 januari 2010 - 21:53

Give a man a fire and he's warm for a day. Set a man on fire and he's warm for the rest of his life.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 21:55

De tweede uitdrukking is ook juist, maar de eerste levert je direct een formule om de modulus uit te rekenen.
Die wortels zijn nogal vervelend, we kunnen ook eerst beide leden kwadrateren (ze zijn toch allebei positief):

LaTeX

Nu kan je vereenvoudigen, met |z|≤ = a≤+b≤ als z = a+bi.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Emveedee

    Emveedee


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 21:59

LaTeX
LaTeX
Oplossen geeft LaTeX

Maar hoe kom ik nu dan terug naar het complexe vlak?
Give a man a fire and he's warm for a day. Set a man on fire and he's warm for the rest of his life.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 22:02

Je zit in het complexe vlak, we hadden immers z = x+iy genomen dus hierin is x het reŽel deel en y het imaginair deel van de complexe variabele z. Als je deze rechte tekent, heb je dus je verzameling (in het complexe vlak, x op de reŽle as, y op de imaginaire as).

"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 januari 2010 - 22:11

Je gaat een complex getal, zoals TD reeds zei, opsplitsen in reŽel en imaginair deel. x+yi heeft dan als coŲrdinaat in ht complexe vlak (x,y). Misschien puur ter informatie: je ziet dat je in LaTeX geen orde hebt op je verzameling! Je kan de verzameling der reŽle getallen dus voorstellen als ťťn eenzame rechte die te midden van al die complexe getallen ligt.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 22:14

Je kan de verzameling der reŽle getallen dus voorstellen als ťťn eenzame rechte die te midden van al die complexe getallen ligt.

Dit is behoorlijk poŽtisch verwoord :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 januari 2010 - 22:17

Wiskunde inspireert me elke dag :eusa_whistle:
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#12

Emveedee

    Emveedee


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 22:22

Oke, dus eigenlijk wordt onze vergelijking dan LaTeX . Dat begrijp ik wel.

Zou je even willen kijken of ik deze ook goed heb gedaan:
LaTeX en LaTeX
LaTeX

Dus het is de cirkel met middelpunt (-1,1), straal [wortel]2 en daar dan het deel van tussen pi/2 en 3/4 pi

En deze kom ik niet helemaal uit:
LaTeX
stel LaTeX
LaTeX
Dan is:
LaTeX

LaTeX
LaTeX
Ik zie niet wat ik daarmee kan?

Veranderd door Emveedee, 17 januari 2010 - 22:23

Give a man a fire and he's warm for a day. Set a man on fire and he's warm for the rest of his life.

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 22:26

Voor we naar die volgende kijken, misschien even hier nog mee doorgaan.

Oke, dus eigenlijk wordt onze vergelijking dan LaTeX

. Dat begrijp ik wel.

Klopt (detail: gebruik maar gewoon "i" in plaats van de Griekse iota).

Als z en w complexe getallen zijn, dan stelt |z-w| de afstand voor tussen z en w, allebei gelegen in het complexe vlak. In het bijzonder is |z| de afstand tot de oorsprong, ook wel de "lengte" of "grootte" van z.

Je vergelijking was |z-1-i| = |z| of even handig herschreven: |z-(1+i)| = |z|. In woorden staat hier dus: alle complexe getallen z waarvoor de afstand tot 1+i gelijk is aan de afstand tot de oorsprong. Kijk nu nog eens naar mijn grafiek hierboven en duid er in gedachten de oorsprong en 1+i eens op aan... Begrijp je dan de ligging van alle oplossingen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Emveedee

    Emveedee


  • >250 berichten
  • 582 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 22:29

Dus eigenlijk is het gewoon de middelloodlijn tussen de oorsprong en het punt (1,i), duidelijk :eusa_whistle:

Veranderd door Emveedee, 17 januari 2010 - 22:32

Give a man a fire and he's warm for a day. Set a man on fire and he's warm for the rest of his life.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2010 - 22:38

Inderdaad, want dat is de verzameling van alle punten op gelijk afstand tot (enz); het lijkt me nuttig dat je dit 'meetkundig inzicht' ook ontwikkelt.

Oke, dus eigenlijk wordt onze vergelijking dan LaTeX


stel LaTeX
LaTeX
Dan is:
LaTeX

LaTeX
LaTeX
Ik zie niet wat ik daarmee kan?

Deze notatie gaat mogelijk verwarring wekken volgens mij; heb jij dit gekozen of is dit een uitwerking uit je cursus? We gebruiken z = x+yi met x en y als reŽel en imaginair deel. In exponentiŽle notatie, kan je het complex getal z met modulus r en argument t schrijven als r.eit. Werk het dan eens uit, je vindt t = pi/3. De oplossingenverzameling bestaat dus uit alle complexe getallen met argument pi/3; dus grafisch...?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures