Springen naar inhoud

Overgangsmatrices


  • Log in om te kunnen reageren

#1

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2010 - 15:14

Hallo,

Omdat overgangsmatrices en basisovergangen zo een belangrijk deel vormen bij lineaire algebra, zou ik toch graag een beetje meer weten over de overgangsformules, omdat ik het gevoel heb dat ik anders gewoon een formule toepas zonder exact te weten wat ik juist doe.

De formule

[A]F',E'=[N-1]F',F[A]F,E[M]E,E'


Concreet betekent dat dat je de middelste matrix A, de matrix van de lineaire afbeelding hebt gegeven, en dat de nieuwe matrix van dezelfde afbeelding ten opzichte van een nieuwe basis wordt gezocht.

Ik vraag me nu af wat je exact doet als je bv. 3 basisvectoren hebt gekregen ten opzichte waarvan A is uitgedrukt en dan nog eens 3 basisvectoren van een basis ten opzichte waarvan de matrix van A gevraagd is.

Ik heb niet volledig door - geloof ik - wat de matrices nu net doen.

Kan iemand me daarbij iets meer duiding geven?

Enorm bedankt!

Veranderd door In fysics I trust, 18 januari 2010 - 15:15

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2010 - 15:58

Volgende link was overigens erg nuttig.

Maar mijn verwarring bestaat er eigenlijk in dat ik het anders doe (en juiste resultaten krijg!), namelijk als volgt:

Ik bekijk de 'oude' coŲrdinaten, ik bekijk de 'nieuwe" coŲrdinaten. Dan druk ik de oude uit in functie van de nieuwe, dit verband geeft me een matrix, ik noem deze Z. Maar om de oplossing te krijgen, moet ik dan wel de volgende formule toepassen: Z*A*Z-1.

En omwille van de plaats van deze macht -1, ben ik in de war.
Ik geloof dat deze opmerking vrij belangrijk is, om mijn probleem aan te geven, vandaar de reactie op mijn eigen post.

Excuses voor het ongemak.

Veranderd door In fysics I trust, 18 januari 2010 - 15:58

"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#3

stoker

    stoker


  • >1k berichten
  • 2746 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 januari 2010 - 16:05

het verband tussen die 2 keer 3 vectoren kan je schrijven in matrixvorm: basis1=overgangsmaxtix.basis2

moet ik dan wel de volgende formule toepassen: Z*A*Z-1.

En omwille van de plaats van deze macht -1, ben ik in de war.

het hangt er vanaf van welke basis je vertrekt en naar welke basis je gaat. hoe jij Z definieert is eigenlijk van de nieuwe basis naar de oude! Je steekt de nieuwe basis in je transformatie (=vermenigvuldiging met Z) en je krijgt de oude basis (aan de andere kant van het gelijkheidsteken. Vervang Z door Z -1; dan: Z*A*Z-1 => Z-1*A*Z

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 januari 2010 - 17:12

In je verhaal zijn een paar dingen verwarrend:
- Waarom drie basisvectoren? Of zit je met een voorbeeld in je hoofd dat driedimensionaal is?
- Je hebt niet een basis(overgang), maar twee: zowel voor de bron- als de aankomstruimte.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2010 - 17:26

@Stoker: Maar zolang ik dit consistent toepas, ik er geen probleem, toch?

@TD: Drie basisvectoren... Ik had zonder er bij na te denken drie geschreven, maar ik had net zo goed n basisvectoren kunnen nemen. Ik had al drie genomen omdat dat in de praktijk een vaak voorkomende opgave is.

En inderdaad, ik heb eigenlijk twee overgangen: tussen E en E' en tussen F en F'.

Dus zolang ik weet in welke richting ik een overgang beschrijf, is het dus in orde. Ik druk de oude coŲrdinaten uit in functie van de nieuwe, dus ik heb inderdaad een overgang van nieuwe naar oude coŲrdinaten. En aangezien we feitelijk nieuwe coŲrdinaten zoeken, moet alles geÔnverteerd worden, waardoor ik dezelfde formule bekom. Zo zit het ongeveer in elkaar, niet?

Bedankt voor jullie reacties!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 januari 2010 - 17:49

Ik vind het niet zo vreemd dat jij (en ik en vele anderen) in de war geraken want dat "oud" en "nieuw" maakt het er niet duidelijker op. Ik probeer het nog eens op een rijtje te zetten.

Stel T:V->W een lineaire afbeelding en AF,E de matrix van T ten opzichte van basissen E en F van resp. V en W. Gegeven nu basissen E' en F' van resp. V en W, wat is nu AF',E', de matrix van T ten opzichte van basissen E' en F'?

Neem een vector x in V en noteer [x]E voor de coŲrdinatenkolom van x t.o.v. E, dan geldt voor T(x) met [T(x)]F de coŲrdinatenkolom van dit beeld t.o.v. F:

[T(x)]F = AF,E [x]E

Merk op dat met deze conventie van volgorde van basissen in de indices, het netjes "op elkaar aansluit".

Vervolgens willen we een matrix die, gegeven [x]E', ons [T(x)]F' geeft; in stappen:
- Ga eerst over van [x]E' naar [x]E via [x]E = ME,E' [x]E', met ME,E' de matrix van basisovergang van E' naar E,
- Pas dan AF,E hierop toe, dat geeft [T(x)]F; dus via [T(x)]F = AF,E [x]E = AF,E ME,E' [x]E',
- Ga dan over van [T(x)]F naar [T(x)]F' via [T(x)]F' = MF',F [T(x)]F, met MF',F de matrix van basisovergang van F naar F' (*),

Samenrapen: [T(x)]F' = MF',F AF,E ME,E' [x]E'; merk opnieuw op hoe de basissen "aansluiten".

Deze laatste overgangsmatrix (*) kan je ook bepalen als inverse van de matrix die de omgekeerde basisovergang geeft (dus van F' naar F).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2010 - 19:07

Dat hebt u erg verhelderend uiteengezet! Om te zien of ik het nu helemaal doorheb:

"met MF',F de matrix van basisovergang van F naar F' (*),":

Als je dit zou uitschrijven in een stelsel, bekom je dus een stelsel met voor het isgelijkaanteken de onbekenden met accenten en erachter lineaire combinaties van de onbekenden zonder accenten, immers, je gaat over naar een basis F', en gaat (elementen uit) F' als het ware uitdrukken in functie van (elementen uit) F.

Klopt dat?
Bedankt!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 januari 2010 - 19:29

Die matrix bevat in de i-de kolom de coŽfficiŽnten wanneer je de i-de basisvector van F uitdrukt ten opzichte van F'. Omdat je vaak vertrekt van de standaardbasis (als F), zal het in dat geval eenvoudiger zijn om F' uit te drukken ten opzichte van F; vandaar dat je dan de omgekeerde overgang opstelt en dan inverteren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 18 januari 2010 - 21:30

Ok, dat begrijp ik nu volledig (hopelijk) :eusa_whistle:
Bedankt TD!
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 januari 2010 - 21:32

Okť, graag gedaan (en inderdaad vrij essentieel in dit vak!).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures