Aantal mogelijkheden bij plaatsingsprobleem

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 19-01-'10, 16:50

Revelation

Gebruikersavatar
Berichten: 2.364

Aantal mogelijkheden bij plaatsingsprobleem

Stel je hebt een rij van N vakken. Je wilt in die rij n dozen zetten die een bepaald aantal vakjes (
\(x_i\)
) innemen.

De volgorde van de dozen is vooraf gespecificeerd en er mogen lege hokjes tussen de dozen zitten.

Een praktijkvoorbeeld. Stel het voorschrift is 3 2 en je hebt 6 vakken. * is doos 1, + is doos 2, _ is lege ruimte.

***++_

***_++

_***++

Dus vier mogelijkheden.

Weet iemand hoe ik het totaal aantal mogelijkeden kan berekenen voor het algemene probleem?
“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde
Omhoog

Bericht 20-01-'10, 09:08

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Aantal mogelijkheden bij plaatsingsprobleem

Dus vier mogelijkheden.
vier?

Verder lijkt het me een typisch programmeerprobleempje...
Omhoog

Bericht 20-01-'10, 12:34

Revelation

Gebruikersavatar
Berichten: 2.364

Re: Aantal mogelijkheden bij plaatsingsprobleem

Oei, heb me verteld. Programmeren is altijd een optie, maar ik hoopte dat er een beter manier was dan alle mogelijkheden af te lopen.
“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde
Omhoog

Bericht 20-01-'10, 13:53

eendavid

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Aantal mogelijkheden bij plaatsingsprobleem

Dus het goede antwoord in het voorbeeld is 3, dwz er mag enkel ruimte zijn tussen verschillende dozen? In dat geval doet enkel de plaatsing van de lege vakjes tussen deze dozen ertoe en is het antwoord
\({n+1}\choose{N-\sum x_i}\)
. Ik vrees echter dat ik je vraag niet goed begrepen heb.

edit: dat is fout, het is een herhalingscombinatie natuurlijk:
\(D^{n+1}_{N-\sum x_i}\)
Omhoog

Bericht 20-01-'10, 16:09

Revelation

Gebruikersavatar
Berichten: 2.364

Re: Aantal mogelijkheden bij plaatsingsprobleem

Je mag ook lege ruimtes voor de eerste en na de laatste doos hebben, zoals ook te zien is in nummer 1 en 3 van het voorbeeld. In nummer 2 is er nog een ruimte tussen de doos.

Het komt erop neer:

Je mag lege ruimtes zetten waar je zelf wilt, zolang je de dozen maar in de goede volgorde hebt.
“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde
Omhoog

Bericht 20-01-'10, 16:22

eendavid

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Aantal mogelijkheden bij plaatsingsprobleem

OK, dat is duidelijk. Wat ik dus niet 100% zeker weet is of het antwoord 3 is in jouw voorbeeld. Bijvoorbeeld, dit is dus niet toegestaan:

*_**++

Indien het antwoord 3 is, dan is het goede antwoord
\(D^{n+1}_{N-\sum x_i}\)
: je moet uit n+1 toegestane lege plaatsen (voor alle dozen, tussen dozen 1 en 2, tussen dozen 2 en 3, ..., achter alle dozen) ,
\(N-\sum x_i\)
plaatsen kiezen, waarbij de volgorde onbelangrijk is maar waarbij 1 plaats meerdere keren kan gekozen worden.
Omhoog

Bericht 20-01-'10, 16:24

Revelation

Gebruikersavatar
Berichten: 2.364

Re: Aantal mogelijkheden bij plaatsingsprobleem

Het antwoord is 3 inderdaad, want de eerste doos is gewoon 3 hokjes breed. Nu moet ik even zoeken naar de definitie van D. Bedankt eendavid! :eusa_whistle:

edit: ik heb de definitie van D nog niet gevonden. Kun je die een beetje nader toelichten?
“Quotation is a serviceable substitute for wit.” - Oscar Wilde
Omhoog

Bericht 20-01-'10, 16:37

eendavid

Gebruikersavatar
Berichten: 3.751

Re: Aantal mogelijkheden bij plaatsingsprobleem

Ah sorry,
\(D^n_k={{n-1+k}\choose{k}}=\frac{(n-1+k)!}{(n-1)!k!}\)
,

en dat laatste is een 'combinatie'. Dat eerste is een 'herhalingscombinatie'.
Omhoog
Reageer

Terug naar “Kansrekening en Statistiek”