de Pauli-Lubanski vector wordt als volgt gedefinieerd:
\(K_\mu = \epsilon_{\mu\nu\kappa\rho}P^\nu J^{\kappa\rho}\)
Met P de impulsgenerator en J de LorentztransformatiesAls je de vector kwadrateert krijg je algemeen (na wat gevorderde algebra):
\(K^2=K^\mu K_\mu =\frac{1}{2}P^\mu P_\mu J^{\nu\rho}J_{\nu\rho}-P_\mu J^{\mu\nu}P^\rho J_{\rho\nu}\)
In het rustsysteem van een deeltje met massa verschillend van nul geeft dit (\(P_\alpha = (m,0,0,0)\Rightarrow P_\alpha P^\alpha = m^2 \))\(K^2=m^2 j(j+1)\)
waarbij j(j+1) de eigenwaarden zijn de spinoperator (komt van de lorentztransformaties die rotaties en boosts bevat maar in ruststelsel dus enkel rotaties overeenkomend met de spin)Mijn vraag: is dit een nieuwe behouden grootheid bovenop massa en spin (omdat in bepaalde gevallen bv supersymmetrie spin en/of massa apart niet meer behouden zijn (weet niet of het zo is), of is het een soort van hergedefinieerde behouden grootheid waarbij massa en spin in een term worden samengenomen?
Tweede deel: voor een massaloos deeltje (\(P_\alpha = (m,0,0,m)\Rightarrow P^2=0\)) zou het kwadraat van de PL-vector nul moeten zijn, dat zie ik niet.
Vertrekkend van de algemene uitdrukking hierboven bekom ik uiteindelijk (de eerste term geeft nul)
\(m^2(J^{01}J_{01}+J^{02}J_{02}+2J^{03}J_{03}-J^{31}J_{31}-J^{32}J_{32})\)
Dit zou nul moeten zijn, maar ik zie niet in hoe dat kan. De Lorentzgenerators J zijn antisymmetrisch maar dat helpt volgens mij ook niet.