Commutator transitief?

M.B.

Als

[a,b] = 0

[b,c] = 0

geldt dan automatisch dat [a,c] = 0 (of nooit, of soms of altjid)

[] zijn commutatoren, a en b operatoren (geen reeele getallen).

eendavid

Als A en B ten opzichte van een gemeenschappelijke basis gediagonaliseerd kunnen worden, en B en C kunnen ten opzichte van een gemeenschappelijke basis gediagonaliseerd kunnen worden, kunnen A en C dan ten opzichte van een gemeenschappelijke basis gediagonaliseerd worden? Door die vraag te beantwoorden vind je het antwoord onmiddellijk: het staat in deze

Verborgen inhoud

.

M.B.

Ik ben niet mee.

Door B de eenheidsmatrix te kiezen zijn bovenstaande commutatoren triviaal.

Maar hoe ik verder moet zien of het al dan niet kan, die gemeenschappelijke basis van a en c kiezen (als het al kan)...

eendavid

Bedoel je dat als je B de eenheidsmatrix kiest, dat dan A en C triviaal commuteren? Wat ik zeg is: neem B de eenheidsmatrix, en neem A en C 2 willekeurige matrices die niet commuteren (bijvoorbeeld rotatie rond de x-as en rotatie rond de z-as). Dan heb je duidelijk een tegenvoorbeeld van je vermoeden.

Meer algemeen kan je dit begrijpen door erover na te denken in termen van gemeenschappelijke diagonalisatie, dit geeft je nog een veel grotere klasse van tegenvoorbeelden.

M.B.

Ja,

inderdaad. Bedankt!

M.B.

Toch nog een extra vraagje in deze context:

stel een vector operator \(V_\mu\)

Het kwadraat daarvan is \(V^2 = V_\mu V^\mu\) is toch een scalair (getal) vermits over alle indices wordt gecontraheerd.

Commuteert het kwadraat van die vector operator dan automatisch met elke mogelijk andere denkbare operator (vermits het dus een scalair is)?

eendavid

Niet per definitie (er staat immers een operator, om het in fysische termen te zeggen 'het niet-commuteren ontstaat door de interne indices'), maar het meest gekende bijvoorbeeld

\(J_x^2+J_y^2+J_z^2\)

bij angulair momentum is nu juist de Casimir-operator.

Bijvoorbeeld J_x^2 (dus met Vy=Vz=0) zal niet commuteren met J_y

M.B.

Stel de Pauli-Lubanski vector uitgebreid met supersymmetrie

\(K_\mu = \frac{1}{2}\epsilon_{\mu\nu\kappa\rho}P^\nu J^{\kappa\rho}-\frac{1}{4}\ol{S}i\gamma_\mu \gamma_5 S\)

zonder het susy stuk commuteert K² met alle generatoren van de Poincaré groep: het is er een Casimir operator van.

Maar K² blijft een scalair (ik sommeer over alle indices i.e. van 0..3 in 4D ruimtetijd) dus commuteert die toch ook sowieso met de supersymmetrische operator S?

Ik heb het niet over de de interne indices van de vector, want K² is per definitie k_x² +k_y²+k_z² . Het kan inderdaad zijn dat K²_x niet commuteert met K_y, maar K² zelf blijft toch een goede Casimir operator in dit geval?

eendavid

Ik heb het wel degelijk over de interne indices van de operator. K^2 is geen scalair, het is een operator inwerkend op een of andere ruimte (via interne indices dus) (en die transformeert als een scalair onder diffeomorfismen). Als je wil aantonen dat hij commuteert met de operator S moet je meer werk doen (ik weet zelf niet of hij dat doet zonder het uit te rekenen).

Ik vermoed dat het probleem dat je hebt met mijn voorbeeld is dat Jx^2 niet transformeert als een scalar?

M.B.

Zonder het supersymmetrisch stuk kan je dat kwadraat (eenvoudig) uitrekenen

\(K^2 = \frac{1}{2}P^\alpha P_\alpha J_{\beta\gamma} J^{\beta\gamma}-P_\alpha P^\gamma J_{\gamma\beta}J^{\alpha\beta}\)

Hier wordt toch over alle indices gesommeerd, da's toch een scalair dan (zelfde in alle Lorentzstelsels etc. invariant onder willekeurige transformatie)??

Is dat niet juist wat het zo'n nuttige operator maakt (met als eigenwaarde de spin j(j+1))?

Met supersymmetrie krijg je natuurlijk nog indices afkomst van de S-operator (die een spinor is), dan begrijp ik dat er interne indices zijn die eventueel voor commutatieproblemen zorgen.

eendavid

Je zegt verdorie zelf dat het een operator is. Om je een duidelijk voorbeeld te geven:

\([J^2,X]\neq 0\)

.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Commutator transitief?

Commutator transitief?

Re: Commutator transitief?

Re: Commutator transitief?

Re: Commutator transitief?

Re: Commutator transitief?

Re: Commutator transitief?

Re: Commutator transitief?

Re: Commutator transitief?

Re: Commutator transitief?

Re: Commutator transitief?

Re: Commutator transitief?