Springen naar inhoud

Continuiteit


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 februari 2010 - 20:30

Hallo, ik ben hier nieuw op het forum en had direct een vraag i.v.m continuiteit.

Vb: Onderzoek of de volgende functie continu is in a: f(x): x▓ - 2x-1 a=3

Als ik de grafiek teken dan is er geen sprong te zien en dus duidelijk continuiteit in punt 3, maar ik moet dit met
ε-δ definitie bewijzen.

Ik vertrek dus van de defintie die zegt dat: (x-a)<δ :eusa_whistle: (f (x) - f (a))< ε
Nu als ik dus de waarde a invul:

(x-3)<δ ](*,) (f(x) - 2)<ε

Nu moeten we een hulpberekening toepassen:

(f(x) - 2) = (x▓-2x-1-2) = (x▓-2x-3) = (x-1)(x+3)

Nu staat er in ons handboek dat: er dus een factor (x-1) en een factor x+3 is dus dat x alleszins in de omgeving van 3 kan liggen dus en daarom eisen we: (x-3)<1

Nu begrijp ik niet waarom ze dit zomaar kunnen eisen? Waarom is (x-3)<1? Kan ik dan ook eisen dat (x-1)<3?

( De ronde haakjes stellen absolute waarde tekentjes voor).

Veranderd door Siron, 02 februari 2010 - 20:33


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 februari 2010 - 20:39

Hallo, ik ben hier nieuw op het forum en had direct een vraag i.v.m continuiteit.

Vb: Onderzoek of de volgende functie continu is in a: f(x): x▓ - 2x-1 a=3

Als ik de grafiek teken dan is er geen sprong te zien en dus duidelijk continuiteit in punt 3, maar ik moet dit met
ε-δ definitie bewijzen.

Ik vertrek dus van de defintie die zegt dat: (x-a)<δ :eusa_whistle: (f (x) - f (a))< ε
Nu als ik dus de waarde a invul:

(x-3)<δ ](*,) (f(x) - 2)<ε

Nu moeten we een hulpberekening toepassen:

(f(x) - 2) = (x▓-2x-1-2) = (x▓-2x-3) = (x-1)(x+3)

Nu staat er in ons handboek dat: er dus een factor (x-1) en een factor x+3 is dus dat x alleszins in de omgeving van 3 kan liggen dus en daarom eisen we: (x-3)<1

Nu begrijp ik niet waarom ze dit zomaar kunnen eisen? Waarom is (x-3)<1? Kan ik dan ook eisen dat (x-1)<3?

( De ronde haakjes stellen absolute waarde tekentjes voor).

Hoe kan je (opeens) -2 bij f optellen. En in dat geval moet
(f(x) - 2) = (x▓-2x-1-2) = (x▓-2x-3) = (x+1)(x-3) zijn.

Opm: Op je toetsenbord bevindt zich een teken waarmee je absoluutstrepen kunt zetten.

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 februari 2010 - 21:32

Zoals Safe al opmerkt, is de ontbinding mis. Je wil |(x+1)(x-3)|<e met e>0 willekeurig, van zodra |x-3|<d met d positief maar zelf te kiezen. Wanneer een zekere d voldoet, voldoet ook elke kleinere d. Je kan je beperken tot waarden van x die niet verder dan (bijvoorbeeld) 1 van 3 liggen, met andere woorden: je neemt d<1; dus geldt ook |x-3|<1. Dit is een keuze, probeer dan het vervolg van het bewijs te volgen en kijk waar je dit gebruikt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 februari 2010 - 21:44

Zoals Safe al opmerkt, is de ontbinding mis. Je wil |(x+1)(x-3)|<e met e>0 willekeurig, van zodra |x-3|<d met d positief maar zelf te kiezen. Wanneer een zekere d voldoet, voldoet ook elke kleinere d. Je kan je beperken tot waarden van x die niet verder dan (bijvoorbeeld) 1 van 3 liggen, met andere woorden: je neemt d<1; dus geldt ook |x-3|<1. Dit is een keuze, probeer dan het vervolg van het bewijs te volgen en kijk waar je dit gebruikt.

?

Veranderd door Siron, 02 februari 2010 - 21:57


#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 februari 2010 - 21:46

De omgeving van het punt a (=3): a

Maar ik begrijp hieruit niet wat jij niet begrijpt...? Kan je dat wat toelichten?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 februari 2010 - 21:58

Maar ik begrijp hieruit niet wat jij niet begrijpt...? Kan je dat wat toelichten?



Ah, ja inderdaad die ontbinding was een foutje. Ik begrijp je uitleg wel, maar er is ÚÚn ding dat ik niet begrijp. De omgeving van het punt a (=3): (de omgeving δ ) 3-ε<3<3+ε. Als ik het juist heb liggen alle beeldpunten f(x) in de U-omgeving die loopt: 2-ε<2<2+ε (Dit kan ik afleiden aan de hand van de grafiek). De definitie zegt dat:
|x-3|<δ en in dit geval wordt besloten dat: |x-3|<1. Dit is ÚÚn van de factoren van de ontbinding |f(x)-2|<ε.
Maar de U-omgeving heeft toch als infinum 2-ε? Hoe kan |x-3|<1

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 februari 2010 - 21:58

Ondertussen heb je je reactie bijgewerkt, maar lijkt het nog altijd een 'los eindje' te hebben...? Edit: nu is je bericht klaar, maar was er alweer een nieuwe reactie... Niet zo handig dus :eusa_whistle:.

Tip: gebruik de functie "Voorbeeld bericht" om je eigen bericht na te lezen en pas te plaatsen wanneer het 'klaar' is; zo voorkom je reacties op een bericht dat nog niet klaar is.

Ah, ja inderdaad die ontbinding was een foutje. Ik begrijp je uitleg wel, maar er is ÚÚn ding dat ik niet begrijp. De omgeving van het punt a (=3): (de omgeving V) 3-ε<3<3+ε. Als ik het juist heb liggen alle beeldpunten f(x) in de u-omgeving (op de y-as): 2-ε<2<2+ε. En er wordt besloten dat |x-3|<1. Maar 1 ligt toch niet in die omgeving V van alle x-waarden. 5

Niet dat het uitmaakt welke naam je aan welke omgeving geeft, maar om verwarring te voorkomen: de e (epsilon) is in je definitie gebruikt voor de afstand tussen de beelden, de d (delta) voor de argumenten. Je kiest dus d en voor de vaste a, bekijk je de x-waarden die voldoen aan |x-a|<d, dus alle x waarvoor a-d<x<a+d. In het bijzonder kan je d, die je zelf mag kiezen, kleiner dan 1 nemen zodat zeker |x-a|<1 geldt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 februari 2010 - 22:00

Ondertussen heb je je reactie bijgewerkt, maar lijkt het nog altijd een 'los eindje' te hebben...? Edit: nu is je bericht klaar, maar was er alweer een nieuwe reactie... Niet zo handig dus :eusa_whistle:.

Tip: gebruik de functie "Voorbeeld bericht" om je eigen bericht na te lezen en pas te plaatsen wanneer het 'klaar' is; zo voorkom je reacties op een bericht dat nog niet klaar is.


Niet dat het uitmaakt welke naam je aan welke omgeving geeft, maar om verwarring te voorkomen: de e (epsilon) is in je definitie gebruikt voor de afstand tussen de beelden, de d (delta) voor de argumenten. Je kiest dus d en voor de vaste a, bekijk je de x-waarden die voldoen aan |x-a|<d, dus alle x waarvoor a-d<x<a+d. In het bijzonder kan je d, die je zelf mag kiezen, kleiner dan 1 nemen zodat zeker |x-a|<1 geldt.


Ah dus kan je dan ook d<3 nemen bv?
Hetgeen waar ik gewoon vastliep was het feit dat a=3 dus 1 ligt niet in de verzameling d( ja toch?) dus daarom was ik verward.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 februari 2010 - 22:05

Ah dus kan je dan ook d<3 nemen bv?

Ja. Je wil dat |f(x)-f(a)|<e voor eender welke vooraf vastgelegde, positieve e; van zodra |x-a|<d voor een zelf te kiezen d. Hiermee geef je aan dat x dichter dan d bij a moet liggen. Je kan er bijvoorbeeld voor kiezen om, ook al zou d = 8 volstaan, d kleiner dan 1 te nemen. Door d op voorhand op die manier te beperken, heb je al een vaste bovengrens voor |x-a| die je zal toelaten factoren |x-b| af te schatten met een constante bovengrens, ook wanneer b verschilt van a.

Hetgeen waar ik gewoon vastliep was het feit dat a=3 dus 1 ligt niet in de verzameling d( ja toch?) dus daarom was ik verward.

Dit begrijp ik niet, welke "verzameling d"?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 februari 2010 - 22:09

Ja. Je wil dat |f(x)-f(a)|<e voor eender welke vooraf vastgelegde, positieve e; van zodra |x-a|<d voor een zelf te kiezen d. Hiermee geef je aan dat x dichter dan d bij a moet liggen. Je kan er bijvoorbeeld voor kiezen om, ook al zou d = 8 volstaan, d kleiner dan 1 te nemen. Door d op voorhand op die manier te beperken, heb je al een vaste bovengrens voor |x-a| die je zal toelaten factoren |x-b| af te schatten met een constante bovengrens, ook wanneer a verschilt van b.


Dit begrijp ik niet, welke "verzameling d"?

Excuseer, ik begrijp misschien de begrippen verkeerd waardoor ik in de war geraak, ik zal zo duidelijk mogelijk proberen te zijn.
Wel de algemene definitie: |x-a|<d :eusa_whistle: |f(x)-f(a)|<e.
Wel volgens mij interpreteer ik de d en e verkeerd.
Stel a=3. Is deze a dan de d? En haar beeldpunt op de grafiek (dat 2 is)= e?

Ik hoop dat ik een beetje duidelijk ben. (Ik bedoelde met de omgeving d: d-e<d<d+e)

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 februari 2010 - 22:15

Wel de algemene definitie: |x-a|<d :eusa_whistle: |f(x)-f(a)|<e.
Wel volgens mij interpreteer ik de d en e verkeerd.
Stel a=3. Is deze a dan de d? En haar beeldpunt op de grafiek (dat 2 is)= e?

Nee, a is niet hetzelfde als d en f(a) is ook niet e.

In woorden: we noemen een functie f met voorschrift f(x) continu in een (ophopings)punt a van haar domein, als f(x) willekeurig dicht bij f(a) komt wanneer x voldoende dicht bij a komt.

Dit moet je goed laten doordringen, eventueel herlezen. Anders verwoord: als x voldoende dicht bij a komt, moet het bijhorend beeld f(x) ook dicht genoeg bij f(a) komen. Als je dan vraagt: "hoe dicht?", dan is het antwoord voor een continue functie: zo dicht als je maar wil.

Nog een anders, met invoering van e: we willen dat f(x) dichter dan e bij f(a) komt, waarbij e een positief (maar mogelijk klein) getal is; of nog: we willen dat de afstand tussen f(x) en f(a) kleiner is dan e. In symbolen |f(x)-f(a)|<e, voor elke positieve e die je ook maar vooraf vastlegt.

Wat zal daarvoor nodig zijn? Dat je x ook dicht genoeg bij a neemt. Wat is "genoeg"? Wel, dichter dan een zekere afstand d die jij "moet vinden", van zodra een e is opgelegd. Je moet met andere woorden zorgen dat aan |f(x)-f(a)|<e voldaan is, door x "dicht genoeg" bij a te kiezen: door |x-a|<d te nemen voor een geschikte d.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 februari 2010 - 22:28

Ok, ik denk dat ik de definitie beter begrijp. Ik zal ze nog eens goed moeten doorlezen tot het helemaal doordringd.
Stel a=2 dan betekent dat dat er dus een 2-d<2<2+d. Nu stel ik doe als volgt:|x-a|<8; dan moet hier de x toch een grotere waarde hebben dan wanneer ik |x-a|<1 neem?

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 februari 2010 - 22:32

Ok, ik denk dat ik de definitie beter begrijp. Ik zal ze nog eens goed moeten doorlezen tot het helemaal doordringd.
Stel a=2 dan betekent dat dat er dus een 2-d<2<2+d. Nu stel ik doe als volgt:|x-a|<8; dan moet hier de x toch een grotere waarde hebben dan wanneer ik |x-a|<1 neem?

Die rode 2 klopt niet... Die a is een vast getal, het punt waar je continu´teit onderzoekt. Je gaat daarvoor naar naburige waarden kijken, de x'en die "rond a" liggen. Hoe ver rond a? Wel precies op een maximale afstand d van a, die d kies je. Je kiest die zodanig dat, wanneer |x-a|<d, dat dan ook |f(x)-f(a)|<e wanneer er vooraf een e>0 opgelegd werd. Als dit (dus het vinden van zo'n geschikte d) "lukt" voor elke, willekeurig gekozen e; dan is f continu in a.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 februari 2010 - 17:49

Die rode 2 klopt niet... Die a is een vast getal, het punt waar je continu´teit onderzoekt. Je gaat daarvoor naar naburige waarden kijken, de x'en die "rond a" liggen. Hoe ver rond a? Wel precies op een maximale afstand d van a, die d kies je. Je kiest die zodanig dat, wanneer |x-a|<d, dat dan ook |f(x)-f(a)|<e wanneer er vooraf een e>0 opgelegd werd. Als dit (dus het vinden van zo'n geschikte d) "lukt" voor elke, willekeurig gekozen e; dan is f continu in a.


Ok, ik heb geprobeerd de definitie goed te laten doordringen en ik hoop dat ik het nu wel begrijp. Ik heb mijn handboek nog eens doorgelezen en mijn begrippen doorlopen. Nu heb ik nog een paar vraagjes.

Stel je hebt een functie: f(x): 5x + 12 met a=1
Ze vragen om de continuiteit te onderzoeken van a=1

Het beeldpunt van a=1 volgens de functie moet 17 (op de y-as).
Stel ik neem de omgeving V (op x-as): ]1/2;3/2[
En ik neem de omgeving U (op y-as van haar beeldpunt): ]16,5;17,5[

Grafisch gezien is er continuiteit. Nu vetrek ik vanuit de δ -ε defintie om de continuiteit te bepalen:
|x-a|<δ :eusa_whistle: |f(x)-f(a)|<ε
|x-1|<δ 8-) |f(x)-17|<ε

Ik vertrek van de hulpberekening:
|f(x)-17|<ε ;) |5x+12-17|<ε ;) |5x-5|<ε ;) |x-1|<ε/5

Nu kan ik stellen dat: ε/5 = δ en dan verkrijg ik:
|x-1|<δ 8-) |x-1|<ε/5 ;) 5|x-5|<ε ](*,) |f(x)-17|<ε

Dus betekent dit dat er inderdaad continuiteit is in 1. Is deze redenering juist?
------------------------------------------------------------------------------------------
Nu heb ik nog wat vragen.
Stel ik neem weer de omgevingen U en V van de oefening hierboven. (a=1)
V: ]1/2;3/2[
U: ]16,5;17,5[

δ -ε defintie om de continuiteit te bepalen:
|x-a|<δ ](*,) |f(x)-f(a)|<ε

Hetgene wat ik nu wilde vragen is of dat mijn redenering juist is?

Als ik de omgevingsdefinitie wil toepassen dan moet er gelden dat f(V) C U
Dus elk punt van V moet een beeldpunt in U hebben.
Betekent dit dat de x-waarde van |x-1|<δ een element moet zijn van V = ]1/2;3/2[?
Stel dat dit klopt, dat x een element moet zijn van V, zijn dan de waarden voor δ beperkt zijn?

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 februari 2010 - 18:01

Stel je hebt een functie: f(x): 5x + 12 met a=1
Ze vragen om de continuiteit te onderzoeken van a=1

Dit lijkt misschien muggenziften, maar het juist ("precies") kunnen formuleren helpt ook om alles goed te begrijpen, dus: je onderzoekt de continu´teit van f, in a.

Het beeldpunt van a=1 volgens de functie moet 17 (op de y-as).
Stel ik neem de omgeving V (op x-as): ]1/2;3/2[
En ik neem de omgeving U (op y-as van haar beeldpunt): ]16,5;17,5[

Je kan als voorbeeld die omgevingen wel zo kiezen, maar zo toon je geen continu´teit. De functie is immers slechts continu als voor elke omgeving van f(a), je een omgeving van a kan vinden zodat... Met ÚÚn voorbeeld, bewijs je dus niets.

Grafisch gezien is er continuiteit. Nu vetrek ik vanuit de δ -ε defintie om de continuiteit te bepalen:
|x-a|<δ :eusa_whistle: |f(x)-f(a)|<ε
|x-1|<δ ;) |f(x)-17|<ε

Ik vertrek van de hulpberekening:
|f(x)-17|<ε 8-) |5x+12-17|<ε 8-) |5x-5|<ε ](*,) |x-1|<ε/5

Nu kan ik stellen dat: ε/5 = δ en dan verkrijg ik:
|x-1|<δ ;) |x-1|<ε/5 ;) 5|x-5|<ε ](*,) |f(x)-17|<ε

Dus betekent dit dat er inderdaad continuiteit is in 1. Is deze redenering juist?

Deze redenering is okÚ, maar dat heeft maar zin als je ook begrijpt wat je aan het doen bent - is dat het geval...? Bijvoorbeeld: kies je een epsilon op basis van delta, of omgekeerd? En waarom is er nu precies aan de definitie van continu´teit voldaan? Probeer daarover na te denken en een nauwkeurig antwoord te formuleren.

Nu heb ik nog wat vragen.
(...)
Als ik de omgevingsdefinitie wil toepassen dan moet er gelden dat f(V) C U
Dus elk punt van V moet een beeldpunt in U hebben.
Betekent dit dat de x-waarde van |x-1|<δ een element moet zijn van V = ]1/2;3/2[?
Stel dat dit klopt, dat x een element moet zijn van V, zijn dan de waarden voor δ beperkt zijn?

Ik stel voor dat we de epsilon-delta en omgevingsdefinitie nog niet door elkaar gaan gebruiken, probeer eerst een van beide volledig te begrijpen. Ik zal deze variant alvast in woorden vertalen: voor elke omgeving U van f(a), moet je een omgeving V van a kunnen vinden zodat f(V) volledig binnen U gelegen is. Dit is equivalent met de voorgaande epsilon-delta definitie van continu´teit.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures