Hoek tussen twee vlakken in een balk

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer

Bericht 02-02-'10, 23:00

Tetris

Berichten: 3

Hoek tussen twee vlakken in een balk

Wie kan mij helpen met het volgende probleem:

In een balk bevinden zich twee identieke vlakken (rechthoekige driehoeken). De vlakken worden gevormd door een ribbe van de balk (b), een diagonaal over één van de vlakken van de balk (a) en een lichaamsdiagonaal van de balk (c ).

Wat is de hoek (
\(\gamma\)
) tussen de twee vlakken, uitgedrukt in de breedte van de balk (b) en de lengte van de balk (l)? Zie afbeelding.

Afbeelding
Omhoog

Bericht 02-02-'10, 23:42

Klintersaas

Berichten: 8.614

Re: Hoek tussen twee vlakken in een balk

Het kan mogelijk (veel) korter, maar mijn eerste idee:
  1. Kies een Cartesisch coördinatenstelsel zodat de oorsprong ervan samenvalt met één van de hoekpunten van de balk;
  2. Bepaal de vergelijking van beide vlakken;
  3. Bepaal de normaalvectoren van beide vlakken;
  4. Bepaal de hoek tussen deze normaalvectoren.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Omhoog

Bericht 03-02-'10, 09:46

PeterPan

Re: Hoek tussen twee vlakken in een balk

Neem even aan dat in je tekening de lijnen die je getekend hebt bij de hoek
\(\gamma\)
loodrecht op de lichaamsdiagonaal staan, en dat ze deel uit maken van een driehoek met zijden p, q en r (r heb je niet getekend).

De lengte p kun je berekenen in de donkere driehoek, omdat dat een hoogtelijn is in de donkere rechthoekige driehoek.

Die p verdeelt de lichaamsdiagonaal in twee stukken waarvan je de lengte nu ook kunt berekenen.

Noem het kortste van deze stukken Q.

Bekijk nu in de lichtgearceerde driehoek het onderste driehoekje, dat begrensd wordt door zijden van lengte q en Q.

Die driehoek is rechthoekig, dus kun je de schuine zijde berekenen.

Nu kun je in het voorstgelegen lichtgrijze vlak lengte r berekenen.

p, q en r zijn nu bekend, en dus is nu gamma te berekenen.

Vergeten: q kun je bereken omdat dat een antiparallel is in de grote lichtgrijze driehoek.
Omhoog

Bericht 03-02-'10, 15:49

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Hoek tussen twee vlakken in een balk

Wat van belang is te weten: De definitie van een hoek tussen twee vlakken. Kan je die geven?

Bedenk dat een hoek gedefinieerd wordt door twee halve lijnen vanuit hetzelfde punt, het hoekpunt. Welke lijnen heb ik nodig.

Inmiddels heb je heel wat aanwijzingen gekregen.
Omhoog

Bericht 07-02-'10, 01:28

Tetris

Berichten: 3

Re: Hoek tussen twee vlakken in een balk

Afbeelding

Jullie hebben me al een heel eind op weg geholpen.

Uitgangspunt voor het bepalen van
\(\gamma\)
is dat de lijnstukken p en q loodrecht op lichaamsdiagonaal c staan.

Mijn redenering wordt nu als volgt:

1. Hoek
\(\gamma\)
bevindt zich in de driehoek pqr. Zijn p, q en r bekend, dan kan ik m.b.v. de cosinusregel
\(\gamma\)
bepalen.

2. p is een hoogtelijn in de driehoek abc. Hierdoor geldt p=bsin
\(\beta\)
= ab/c.

3. Qpb is een rechthoekige driehoek. Aangezien p en b bekend zijn is ook Q bekend.

4. Q en q vormen de rechte zijden van een rechthoekige driehoek. Deze driehoek is gelijkvormig aan de driehoek met de rechte zijden p en Q. Aangezien Q en p bekend zijn is ook q bekend.

5. In de rechthoekige driehoek Qqs zijn Q en q bekend, dus ook s.

6. b, r en s vormen een driehoek. De tegenoverliggende hoek van r is bekend door de rechthoekige driehoek bla. De cosinusregel geeft ons lengte r.

7. nu zijn zowel p als q als r bekend en kan
\(\gamma\)
bepaald worden.

Is mijn redenering juist?
Omhoog

Bericht 07-02-'10, 12:52

PeterPan

Re: Hoek tussen twee vlakken in een balk

Tetris schreef:4. Q en q vormen de rechte zijden van een rechthoekige driehoek. Deze driehoek is gelijkvormig aan de driehoek met de rechte zijden p en Q. Aangezien Q en p bekend zijn is ook q bekend.

Alles correct, behalve punt 4.

De driehoek met zijden Q s en q is gelijkvormig met de grote lichtgrijze "schuin horizontaal" gelegen driehoek met zijden A B en C. (want hoek
\(\beta\)
hebben ze gemeen en een hoek van
\(90^o\)
).

Daaruit vind je een uitdrukking van q.

Dat geeft je ook een snellere manier om s te vinden.
Omhoog

Bericht 07-02-'10, 14:54

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Hoek tussen twee vlakken in een balk

Als je het hoekpunt linksonder A en bovenaan B noemt. Dan is driehoek AB met zijde c congruent met de driehoek zijden b, a en c Waarom?). Het loodvlak door A op c geeft een gelijkbenige driehoek waarvan de tophoek het supplement is van de gevraagde hoek gamma. Verder zijn alle zijden van deze driehoek bekend (uit te drukken in a,b en c) en kan je dus de cos-regel toepassen.

De rechthoekige driehoek met zijden a, b en c heeft een hoogtelijn vanuit de rechte hoek h. Ken je de betrekking tussen a, b, c, en h of kan je deze afleiden? De zijde h is het been in de boven bedoelde gelijkbenige driehoek.

Opm: je hebt het lijnstuk q nu niet meer nodig.
Omhoog

Bericht 07-02-'10, 23:50

Tetris

Berichten: 3

Re: Hoek tussen twee vlakken in een balk

PeterPan schreef:Alles correct, behalve punt 4.

De driehoek met zijden Q s en q is gelijkvormig met de grote lichtgrijze "schuin horizontaal" gelegen driehoek met zijden A B en C. (want hoek
\(\beta\)
hebben ze gemeen en een hoek van
\(90^o\)
).

Daaruit vind je een uitdrukking van q.

Dat geeft je ook een snellere manier om s te vinden.
Om q te bepalen met behulp van de grote lichtgrijze driehoek ABC lijkt mij inderdaad eenvoudiger. Toch is punt 4 volgens mij op zich niet onjuist, aangezien ook driehoek pQb een hoek van
\(90^o\)
én een hoek
\(\beta\)
heeft. Immers zijn hoek
\(\alpha\)
en
\(\beta\)
samen
\(90^o\)
.
Omhoog

Bericht 08-02-'10, 10:03

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Hoek tussen twee vlakken in een balk

Safe schreef:De rechthoekige driehoek met zijden a, b en c heeft een hoogtelijn vanuit de rechte hoek h. Ken je de betrekking tussen a, b, c, en h of kan je deze afleiden? De zijde h is het been in de boven bedoelde gelijkbenige driehoek.

Opm: je hebt het lijnstuk q nu niet meer nodig.
De zijde h, in bovenstaande zin, is in jouw figuur zijde p en je kent zo te zien het verband tussen a, b, c en p. Alleen zal het verlengde van q door het linkerhoekpunt (beneden) A moeten gaan.

Opm: misschien ontstaat hierdoor ook het 'misverstand' over punt 4.
Omhoog
Reageer

Terug naar “(Lineaire) Algebra en Meetkunde”