Combinatoriek

Dijkstra

Hallo

Ik heb een tweetal combinatoriek vraagstukken, waar ik niet uitkom.

Wellicht kunnen jullie helpen of in ieder geval één iemand...

A]

Op hoeveel manieren zijn 10 identiek dezelfde knikkers te verdelen over 4 van elkaar verschillende bakken als er minstens 2 knikkers in de 1e bak moet komen?

Het zou op te lossen moeten zijn met een machtreeks.

B]

Geef een combinatorisch bewijs voor: (n-2) * (n nCr 2) = 3 * (n nCr 3)

C]

Voor surprise wil men met behulp van lootjes bepalen wie een presentje moet kopen voor wie.

Je schrijft je eigen naam op een lootje en deze worden van alle 10 de personen die meedoen verzameld in een doosje.

Men trekt beurtelings en blindelings een lootje uit het doosje.

Wat is de kans dat er geen enkele deelnemer het lootje met zijn/haar eigen naam trekt?

Heel erg bedankt alvast.

Klintersaas

Ik heb een tweetal combinatoriek vraagstukken, waar ik niet uitkom.

Blijkbaar zijn het er een drietal, maar goed.

Dijkstra schreef:Op hoeveel manieren zijn 10 identiek dezelfde knikkers te verdelen over 4 van elkaar verschillende bakken als er minstens 2 knikkers in de 1e bak moet komen?

Het zou op te lossen moeten zijn met een machtreeks.

Ook zonder machtreeks. Op hoeveel manieren kun je 10 identieke knikkers verdelen over 4 verschillende bakken? Bij hoeveel van die manieren komen er minder dan 2 knikkers in de eerste bak terecht?

Geef een combinatorisch bewijs voor: (n-2) * (n nCr 2) = 3 * (n nCr 3)

Te bewijzen:

\((n-2)\cdot C_n^2 = 3 \cdot C_n^3\)

Voor surprise wil men met behulp van lootjes bepalen wie een presentje moet kopen voor wie.

Je schrijft je eigen naam op een lootje en deze worden van alle 10 de personen die meedoen verzameld in een doosje.

Men trekt beurtelings en blindelings een lootje uit het doosje.

Wat is de kans dat er geen enkele deelnemer het lootje met zijn/haar eigen naam trekt?

Wat is de kans dat de eerste persoon het lootje met z'n eigen naam trekt? En de tweede persoon? En de derde? [...] En de laatste?

Dijkstra

Hoi

Idd het zijn er 3...

Ik had voor vraag A] 165.

Is dit ook wat u hieruit krijgt?

Bij vraag B] is het niet de bedoeling om het uit te schrijven m.b.v. formules.

Het is gevraagd om een combinatorisch bewijs te geven.

D.m.v. een logisch verhaal zeg maar.

Ik had bij vraag C] 1334961/3628800 * 100% ≈ 36,8%.

Is dit ook wat u hieruit krijgt?

Van verwachting wacht ik af...

Bedankt nogmaals alvast!

Klintersaas

Dijkstra schreef:Ik had voor vraag A] 165.

Is dit ook wat u hieruit krijgt?

Ja, dus ik neem aan dat je methode ook correct zal zijn.

Dijkstra schreef:Bij vraag B] is het niet de bedoeling om het uit te schrijven m.b.v. formules.

Het is gevraagd om een combinatorisch bewijs te geven.

D.m.v. een logisch verhaal zeg maar.

Ik volg je niet helemaal. Kun je een voorbeeld geven van een ander "combinatorisch bewijs" dat je bijvoorbeeld in de les hebt gezien?

Dijkstra schreef:Ik had bij vraag C] 1334961/3628800 * 100% ≈ 36,8%.

Is dit ook wat u hieruit krijgt?

Nee. Het is natuurlijk ook mogelijk dat ik degene ben die een fout maakt. Laat je methode eens zien.

Dijkstra

Opgave A] zal dan idd wel goed zijn.

Voor opgave B]:

Bewijs dat (m+n nCr k) = Sommatie van j=0 t/m k over (m nCr j) * (n nCr k-j)

Combinatorisch bewijs: neem een groep van m mannen en n vrouwen.

Een groep vormen ter grootte k uit de totale samenstelling mannen en vrouwen kan op de volgende manieren.

Er kunnen alleen maar mannen aanwezig zijn. Dus 0 vrouwen. Ofwel (m nCr k) * (n nCr 0)

Er kan 1 man aanwezig zijn. Dus k-1 vrouwen. Ofwel (m nCr 1) * (n nCr k-1)

Analoog voor de andere mogelijkheden tot en met de laatste mogelijkheid enkel vrouwen aanwezig: (m nCr 0) * (n nCr k)

Sommatie hierover levert alle mogelijkheden.

Hetgeen ook in formulevorm te bewijzen was.

Zoiets is een combinatorisch bewijs wat dus ook de bedoeling is voor opgave B].

Opgave C]

Totaal aantal mogelijkheden: 10! = 3628800 om iedereen een willekeurig lootje te laten trekken.

Aantal mogelijkheden waarbij gekeken wordt naar het hebben van een eigen lootje, beter gezegd het hebben van niet je eigen lootje:

(10 nCr 0) * 10! - (10 nCr 1) * 9! + (10 nCr 2) * 8! - (10 nCr 3) * 7! - (10 nCr 4) * 6! - (10 nCr 5) * 5! - (10 nCr 6) * 4! - (10 nCr 7) * 3! - (10 nCr 8) * 2! - (10 nCr 9) * 1! - (10 nCr 10) * 0! = 1334961

Dus ik dacht: 1334961 / 3628800 * 100% ≈ 36,8 %

Ik heb gebruikt gemaakt van de therorie van inclusie / exclusie.

Ik hoor graag weer van u!

Alvast bedankt weer.

Klintersaas

Dijkstra schreef:Opgave C]

Totaal aantal mogelijkheden: 10! = 3628800 om iedereen een willekeurig lootje te laten trekken.

Aantal mogelijkheden waarbij gekeken wordt naar het hebben van een eigen lootje, beter gezegd het hebben van niet je eigen lootje:

(10 nCr 0) * 10! - (10 nCr 1) * 9! + (10 nCr 2) * 8! - (10 nCr 3) * 7! - (10 nCr 4) * 6! - (10 nCr 5) * 5! - (10 nCr 6) * 4! - (10 nCr 7) * 3! - (10 nCr 8) * 2! - (10 nCr 9) * 1! - (10 nCr 10) * 0! = 1334961

Dus ik dacht: 1334961 / 3628800 * 100% ≈ 36,8 %

Ik heb gebruikt gemaakt van de therorie van inclusie / exclusie.

Ik heb het nog even nagekeken en blijkt dat ikzelf een rekenfoutje maakte. Nu komt mijn antwoord wel overeen met het jouwe (wat nog geen garantie is voor de juistheid ervan, maar het lijkt me wel juist).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Combinatoriek

Combinatoriek

Re: Combinatoriek

Re: Combinatoriek

Re: Combinatoriek

Re: Combinatoriek

Re: Combinatoriek