Springen naar inhoud

Continue functies


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 februari 2010 - 20:25

Hallo, ik een oefening van continuiteit waar ik niet aan uitkan en dus dacht ik zeker wel dat iemand me hier kon helpen.

Ik moet met de ε - δ definitie bewijzen dat de functie f continu is in het punt a van haar domein.

f(x)= x a=1

De ε - δ definitie: | x - a |< δ hieruit volgt:| f(x) -f(a) |< ε

Ik vul nu de waarden in: |x - 1|< δ hieruit volgt:|f(x) -1|< ε
Ik vertrek nu van hier:| f(x) -1 |< ε =| x- 1|< ε

Ik zou nu graag willen ontbinden zodat: ik iets in de vorm verkrijg van:|x- 1|. ... <ε
Zodat ik kan bewijzen dat |x- 1|<1 (bijvoorbeeld) en dat ik dan hieruit een conclusie kan halen voor de andere factor zodat ik verder kan.

Kan iemand me helpen wat er op de ... moet staan?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 februari 2010 - 20:33

Ken je de algemene ontbindingsformule voor het verschil van twee derdemachten?

LaTeX

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#3

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 februari 2010 - 20:35

Ken je de algemene ontbindingsformule voor het verschil van twee derdemachten?

LaTeX


Ah dus dan kan ik ontbinden in (x-1)(x² +x +1)

#4

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 februari 2010 - 20:35

Inderdaad.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#5

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 05 februari 2010 - 22:46

Ik vertrek nu van hier:| f(x) -1 |< ε =| x- 1|< ε
Ik zou nu graag willen ontbinden zodat: ik iets in de vorm verkrijg van:|x- 1|. ... <ε
Zodat ik kan bewijzen dat |x- 1|<1 (bijvoorbeeld) en dat ik dan hieruit een conclusie kan halen voor de andere factor zodat ik verder kan.

Met gezond verstand kan je ver komen ...
x-1, je weet (?) dat x=1 een opl is van x-1=0
Dus kunnen we schrijven: x-1=(x-1)(x ... +1)
Waarom moeten er x en +1 in die tweede factor staan?
Wat moet de overblijvende term (waarom is dat er n?) zijn? Niet moeilijk denken.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 februari 2010 - 00:21

Eens je die ontbinding hebt, moet je natuurlijk wel nog voor een afschatting van die extra factor zorgen; lukt dat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 februari 2010 - 10:41

Met gezond verstand kan je ver komen ...
x-1, je weet (?) dat x=1 een opl is van x-1=0
Dus kunnen we schrijven: x-1=(x-1)(x ... +1)
Waarom moeten er x en +1 in die tweede factor staan?
Wat moet de overblijvende term (waarom is dat er n?) zijn? Niet moeilijk denken.


Eum, ik zou het eigenlijk niet goed weten. Als ik de factor (x-1) heb dan blijf ik met de tweede factor zitten die van de tweede graad is, dan blijft het moeilijk, dus dacht ik misschien om de tweede factor (x ... +1) nog eens te ontbinden, kan dit lukken, of is er iets anders beter en simpeler?

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 februari 2010 - 11:13

Met gezond verstand kan je ver komen ...
x-1, je weet (?) dat x=1 een opl is van x-1=0
Dus kunnen we schrijven: x-1=(x-1)(x ... +1)
Waarom moeten er x en +1 in die tweede factor staan?
Wat moet de overblijvende term (waarom is dat er n?) zijn? Niet moeilijk denken.

Heb je dit begrepen, in die zin, dat je tot de ontbinding kan komen.
Inmiddels 'weet' je al wat die tweede factor is.
Nu vraag je je af of ook die tweede factor te ontbinden is in bv (x-a)(x-b)?
Je hebt al kennis gemaakt met kwadratische verg en ook hoe je bepaald of er opl zijn?
Maar als je dat (misschien) niet meer weet is er nog altijd 'zoiets'als gezond verstand.
x+x+1=...
x>=0 => x+1>=1; x kan je negatief kiezen bv -2, dan zie je dat x 'gaat winnen' en -1 lukt ook al niet.
Mooier is als je het volgende weet: x+x+1=(x+1/2)+3/4 maw het minimum is 3/4 bij x=-1/2.
Een grafiek maken is ook zeer illustratief.
Conclusie: ontbinden kan niet.

Ivm je opgave je zal deze factor moeten 'afschatten' (als je deze aanduiding kent).

#9

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 februari 2010 - 11:41

Heb je dit begrepen, in die zin, dat je tot de ontbinding kan komen.
Inmiddels 'weet' je al wat die tweede factor is.
Nu vraag je je af of ook die tweede factor te ontbinden is in bv (x-a)(x-b)?
Je hebt al kennis gemaakt met kwadratische verg en ook hoe je bepaald of er opl zijn?
Maar als je dat (misschien) niet meer weet is er nog altijd 'zoiets'als gezond verstand.
x+x+1=...
x>=0 => x+1>=1; x kan je negatief kiezen bv -2, dan zie je dat x 'gaat winnen' en -1 lukt ook al niet.
Mooier is als je het volgende weet: x+x+1=(x+1/2)+3/4 maw het minimum is 3/4 bij x=-1/2.
Een grafiek maken is ook zeer illustratief.
Conclusie: ontbinden kan niet.

Ivm je opgave je zal deze factor moeten 'afschatten' (als je deze aanduiding kent).


Ja, je hebt gelijk, ik was al tot de conclusie gekomen dat het niet lukte om deze verder te ontbinden, vermits de discriminant negatief was, maar ik dacht dat ik gewoon een fout maakte.

Ik heb nog nooit gehoord van afschatten, kan je mij dit uitleggen?

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 februari 2010 - 14:14

Zodat ik kan bewijzen dat |x- 1|<1 (bijvoorbeeld) en dat ik dan hieruit een conclusie kan halen voor de andere factor zodat ik verder kan.

Dit haal ik uit je eerste post. Verklaar dit eens. Waarom wil je dit en hoe ga je verder?

#11

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 februari 2010 - 14:44

Dit haal ik uit je eerste post. Verklaar dit eens. Waarom wil je dit en hoe ga je verder?


|x- 1|<1

In mijn boek staat een gelijkaardig voorbeeld waar ze hetzelfde doen. Er staat als volgt:

Omdat er twee factoren zijn, kan je niet bij elke gegeven ε passende δaflezen.
En dan vervolgen ze dit door een eis te stellen zoals bijvoorbeeld: |x- 1|<1

Ik weet dat |x- 1|.|x+x+1|< ε
Ik kan hier dus niet direct alle waarden aflezen. Hoe kan ik dan verder?
Ik dacht misschien dat dit wel kon: omdat |x- 1|.|x+x+1|< ε dan is |x- 1|<ε en dus ook |x+x+1|<ε

Dus als ik weet dat |x- 1|<ε dan weet ik zeker dat dit kleiner moet zijn dan delta.

#12

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 februari 2010 - 15:35

Je wilt δ max 1 kiezen (dat is arbitrair), dus |x-1<1, Nu geldt: ||a|-|b||<=|a+b|<=|a|+|b| (dit moet je weten!)
Dus:|x|-1<=|x-1|<1 => |x|<2, zodat als de eis wordt: |x-1|<ε, volgt er:
|x-1|=|x-1||x+x+1|<..., dit moeten we 'naar boven' afschatten.
Doe een poging.

#13

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 februari 2010 - 15:57

Je wilt δ max 1 kiezen (dat is arbitrair), dus |x-1<1, Nu geldt: ||a|-|b||<=|a+b|<=|a|+|b| (dit moet je weten!)
Dus:|x|-1<=|x-1|<1 => |x|<2, zodat als de eis wordt: |x-1|<ε, volgt er:
|x-1|=|x-1||x+x+1|<..., dit moeten we 'naar boven' afschatten.
Doe een poging.


Ik heb in n van mijn vorige posts al eens gezegd dat ik nog nooit heb gehoord van afschatten, dus ik begrijp niet wat je bedoeld?

#14

Prot

    Prot


  • >250 berichten
  • 478 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 februari 2010 - 16:49

Ik zal het voorbeeld uit mijn boek eens laten zien om duidelijk te maken wat ik nu juist bedoel met |x-1|<1
Voorbeeld: x -2x -1 a= 3
Gevraagd bewijs met de e-d definitie dat f continu is in a.

Voor elke e moeten we een d vinden zodat er geldt dat:

|x-3|< d en dat hieruit volgt dat |f(x)-2|<e

Ze voeren een hulpberekening uit:
|f(x)-2| = ... = |x-3|.|x+1|

Ze vinden de factor x-3 terug, maar ook de factor x+1. We kunnen dus niet bij elke e een passende d aflezen. Daarom zullen we op x een voorafgaande waarde afleggen. We kunnen eisen dat: |x-3|< 1

Nu moeten we onderzoeken wat hieruit volgt voor x+1
|x-3|<1 dan volgt hieruit: -1<x-3<1
en dus dat: 3<x+1<5

Nu dat we dit weten kunnen we besluiten dat:|f(x)-2|< 5|x-3| en 5|x-3|<e dus:|f(x)-2|<e
De voorwaarden zijn dus dat:|x-3|<1 en dat |x-3|<e/5

We krijgen nu inderdaad voor elke e: |x-3|<d en dat dus hieruit volgt dat |x-3|<e/5
en dus dat |f(x)-2|<e.

Dit is dus waarom ik de eis stelde in mijn oefening. Kan iemand mij dan verder helpen met wat ik kan doen met de ontbonden factoren?

Veranderd door Prot, 06 februari 2010 - 16:49


#15

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 06 februari 2010 - 18:19

Nu geldt: ||a|-|b||<=|a+b|<=|a|+|b| (dit moet je weten!)

Is dit bekend?

Ik zal het voorbeeld uit mijn boek eens laten zien om duidelijk te maken wat ik nu juist bedoel met |x-1|<1
Voorbeeld: x -2x -1 a= 3
|x-3|< d en dat hieruit volgt dat |f(x)-2|<e
Ze voeren een hulpberekening uit:
|f(x)-2| = ... = |x-3|.|x+1|

Nu volgens de formule boven:
Ga uit van: |x-3|<1 => |x|-3<=|x-3|<1 => |x|<4 (zie formule boven), zodat
|x-3||x+1|<δ|x+1|<=δ(|x|+1)<δ*5 (dit noemen we het afschatten van x+1), kies dus voor δ=ε/5, wat volgt dan?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures