Continue functies

Prot

Hallo, ik een oefening van continuiteit waar ik niet aan uitkan en dus dacht ik zeker wel dat iemand me hier kon helpen.

Ik moet met de ε - δ definitie bewijzen dat de functie f continu is in het punt a van haar domein.

f(x)= x³ a=1

De ε - δ definitie: | x - a |< δ hieruit volgt:| f(x) -f(a) |< ε

Ik vul nu de waarden in: |x - 1|< δ hieruit volgt:|f(x) -1|< ε

Ik vertrek nu van hier:| f(x) -1 |< ε =| x³- 1|< ε

Ik zou nu graag willen ontbinden zodat: ik iets in de vorm verkrijg van:|x- 1|. ... <ε

Zodat ik kan bewijzen dat |x- 1|<1 (bijvoorbeeld) en dat ik dan hieruit een conclusie kan halen voor de andere factor zodat ik verder kan.

Kan iemand me helpen wat er op de ... moet staan?

Klintersaas

Ken je de algemene ontbindingsformule voor het verschil van twee derdemachten?

\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)

Prot

Klintersaas schreef:Ken je de algemene ontbindingsformule voor het verschil van twee derdemachten?

\(a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)\)

Ah dus dan kan ik ontbinden in (x-1)(x² +x +1)

Klintersaas

Inderdaad.

Safe

Prot schreef:Ik vertrek nu van hier:| f(x) -1 |< ε =| x³- 1|< ε

Ik zou nu graag willen ontbinden zodat: ik iets in de vorm verkrijg van:|x- 1|. ... <ε

Zodat ik kan bewijzen dat |x- 1|<1 (bijvoorbeeld) en dat ik dan hieruit een conclusie kan halen voor de andere factor zodat ik verder kan.

Met gezond verstand kan je ver komen ...

x³-1, je weet (?) dat x=1 een opl is van x³-1=0

Dus kunnen we schrijven: x³-1=(x-1)(x² ... +1)

Waarom moeten er x² en +1 in die tweede factor staan?

Wat moet de overblijvende term (waarom is dat er één?) zijn? Niet moeilijk denken.

TD

Eens je die ontbinding hebt, moet je natuurlijk wel nog voor een afschatting van die extra factor zorgen; lukt dat?

Prot

Safe schreef:Met gezond verstand kan je ver komen ...

x³-1, je weet (?) dat x=1 een opl is van x³-1=0

Dus kunnen we schrijven: x³-1=(x-1)(x² ... +1)

Waarom moeten er x² en +1 in die tweede factor staan?

Wat moet de overblijvende term (waarom is dat er één?) zijn? Niet moeilijk denken.

Eum, ik zou het eigenlijk niet goed weten. Als ik de factor (x-1) heb dan blijf ik met de tweede factor zitten die van de tweede graad is, dan blijft het moeilijk, dus dacht ik misschien om de tweede factor (x² ... +1) nog eens te ontbinden, kan dit lukken, of is er iets anders beter en simpeler?

Safe

Safe schreef:Met gezond verstand kan je ver komen ...

x³-1, je weet (?) dat x=1 een opl is van x³-1=0

Dus kunnen we schrijven: x³-1=(x-1)(x² ... +1)

Waarom moeten er x² en +1 in die tweede factor staan?

Wat moet de overblijvende term (waarom is dat er één?) zijn? Niet moeilijk denken.

Heb je dit begrepen, in die zin, dat je tot de ontbinding kan komen.

Inmiddels 'weet' je al wat die tweede factor is.

Nu vraag je je af of ook die tweede factor te ontbinden is in bv (x-a)(x-b)?

Je hebt al kennis gemaakt met kwadratische verg en ook hoe je bepaald of er opl zijn?

Maar als je dat (misschien) niet meer weet is er nog altijd 'zoiets'als gezond verstand.

x²+x+1=...

x²>=0 => x²+1>=1; x kan je negatief kiezen bv -2, dan zie je dat x² 'gaat winnen' en -1 lukt ook al niet.

Mooier is als je het volgende weet: x²+x+1=(x+1/2)²+3/4 maw het minimum is 3/4 bij x=-1/2.

Een grafiek maken is ook zeer illustratief.

Conclusie: ontbinden kan niet.

Ivm je opgave je zal deze factor moeten 'afschatten' (als je deze aanduiding kent).

Prot

Safe schreef:Heb je dit begrepen, in die zin, dat je tot de ontbinding kan komen.

Inmiddels 'weet' je al wat die tweede factor is.

Nu vraag je je af of ook die tweede factor te ontbinden is in bv (x-a)(x-b)?

Je hebt al kennis gemaakt met kwadratische verg en ook hoe je bepaald of er opl zijn?

Maar als je dat (misschien) niet meer weet is er nog altijd 'zoiets'als gezond verstand.

x²+x+1=...

x²>=0 => x²+1>=1; x kan je negatief kiezen bv -2, dan zie je dat x² 'gaat winnen' en -1 lukt ook al niet.

Mooier is als je het volgende weet: x²+x+1=(x+1/2)²+3/4 maw het minimum is 3/4 bij x=-1/2.

Een grafiek maken is ook zeer illustratief.

Conclusie: ontbinden kan niet.

Ivm je opgave je zal deze factor moeten 'afschatten' (als je deze aanduiding kent).

Ja, je hebt gelijk, ik was al tot de conclusie gekomen dat het niet lukte om deze verder te ontbinden, vermits de discriminant negatief was, maar ik dacht dat ik gewoon een fout maakte.

Ik heb nog nooit gehoord van afschatten, kan je mij dit uitleggen?

Safe

Zodat ik kan bewijzen dat |x- 1|<1 (bijvoorbeeld) en dat ik dan hieruit een conclusie kan halen voor de andere factor zodat ik verder kan.

Dit haal ik uit je eerste post. Verklaar dit eens. Waarom wil je dit en hoe ga je verder?

Prot

Dit haal ik uit je eerste post. Verklaar dit eens. Waarom wil je dit en hoe ga je verder?

|x- 1|<1

In mijn boek staat een gelijkaardig voorbeeld waar ze hetzelfde doen. Er staat als volgt:

Omdat er twee factoren zijn, kan je niet bij elke gegeven ε passende δaflezen.

En dan vervolgen ze dit door een eis te stellen zoals bijvoorbeeld: |x- 1|<1

Ik weet dat |x- 1|.|x²+x+1|< ε

Ik kan hier dus niet direct alle waarden aflezen. Hoe kan ik dan verder?

Ik dacht misschien dat dit wel kon: omdat |x- 1|.|x²+x+1|< ε dan is |x- 1|<ε en dus ook |x²+x+1|<ε

Dus als ik weet dat |x- 1|<ε dan weet ik zeker dat dit kleiner moet zijn dan delta.

Safe

Je wilt δ max 1 kiezen (dat is arbitrair), dus |x-1<1, Nu geldt: ||a|-|b||<=|a+b|<=|a|+|b| (dit moet je weten!)

Dus:|x|-1<=|x-1|<1 => |x|<2, zodat als de eis wordt: |x³-1|<ε, volgt er:

|x³-1|=|x-1||x²+x+1|<..., dit moeten we 'naar boven' afschatten.

Doe een poging.

Prot

Safe schreef:Je wilt δ max 1 kiezen (dat is arbitrair), dus |x-1<1, Nu geldt: ||a|-|b||<=|a+b|<=|a|+|b| (dit moet je weten!)

Dus:|x|-1<=|x-1|<1 => |x|<2, zodat als de eis wordt: |x³-1|<ε, volgt er:

|x³-1|=|x-1||x²+x+1|<..., dit moeten we 'naar boven' afschatten.

Doe een poging.

Ik heb in één van mijn vorige posts al eens gezegd dat ik nog nooit heb gehoord van afschatten, dus ik begrijp niet wat je bedoeld?

Prot

Ik zal het voorbeeld uit mijn boek eens laten zien om duidelijk te maken wat ik nu juist bedoel met |x-1|<1

Voorbeeld: x² -2x -1 a= 3

Gevraagd bewijs met de e-d definitie dat f continu is in a.

Voor elke e moeten we een d vinden zodat er geldt dat:

|x-3|< d en dat hieruit volgt dat |f(x)-2|<e

Ze voeren een hulpberekening uit:

|f(x)-2| = ... = |x-3|.|x+1|

Ze vinden de factor x-3 terug, maar ook de factor x+1. We kunnen dus niet bij elke e een passende d aflezen. Daarom zullen we op x een voorafgaande waarde afleggen. We kunnen eisen dat: |x-3|< 1

Nu moeten we onderzoeken wat hieruit volgt voor x+1

|x-3|<1 dan volgt hieruit: -1<x-3<1

en dus dat: 3<x+1<5

Nu dat we dit weten kunnen we besluiten dat:|f(x)-2|< 5|x-3| en 5|x-3|<e dus:|f(x)-2|<e

De voorwaarden zijn dus dat:|x-3|<1 en dat |x-3|<e/5

We krijgen nu inderdaad voor elke e: |x-3|<d en dat dus hieruit volgt dat |x-3|<e/5

en dus dat |f(x)-2|<e.

Dit is dus waarom ik de eis stelde in mijn oefening. Kan iemand mij dan verder helpen met wat ik kan doen met de ontbonden factoren?

Safe

Nu geldt: ||a|-|b||<=|a+b|<=|a|+|b| (dit moet je weten!)

Is dit bekend?

Prot schreef:Ik zal het voorbeeld uit mijn boek eens laten zien om duidelijk te maken wat ik nu juist bedoel met |x-1|<1

Voorbeeld: x² -2x -1 a= 3

|x-3|< d en dat hieruit volgt dat |f(x)-2|<e

Ze voeren een hulpberekening uit:

|f(x)-2| = ... = |x-3|.|x+1|

Nu volgens de formule boven:

Ga uit van: |x-3|<1 => |x|-3<=|x-3|<1 => |x|<4 (zie formule boven), zodat

|x-3||x+1|<δ|x+1|<=δ(|x|+1)<δ*5 (dit noemen we het afschatten van x+1), kies dus voor δ=ε/5, wat volgt dan?

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Continue functies

Continue functies

Re: Continue functies

Re: Continue functies

Re: Continue functies

Re: Continue functies

Re: Continue functies

Re: Continue functies

Re: Continue functies

Re: Continue functies

Re: Continue functies

Re: Continue functies

Re: Continue functies

Re: Continue functies

Re: Continue functies

Re: Continue functies