Springen naar inhoud

[Wiskunde] Inverse matrix


  • Log in om te kunnen reageren

#1

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 augustus 2005 - 18:15

Stel dat A-1A = I en AX = B, vierkante matrices.

Dan AX=B => A-1AX = A-1B => X = A-1B
=> AX = AA-1B en dus zou ook moeten gelden dat AA-1 = I


Nu is mijn vraag, betekent dit dat A-1A = I => AA-1 = I ? En zoniet, kan iemand mij vertellen waarom niet?

Alvast bedankt.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 augustus 2005 - 18:20

Nu is mijn vraag, betekent dit dat A-1A = I => AA-1 = I


Correct, behalve dan het gebruik van het wiskundig teken '=>' (het een is niet een gevolg van de ander; ze zijn beiden altijd waar indien A een niet-singuliere matrix is)
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#3

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 augustus 2005 - 18:59

Dus dat stukje daarboven (met AX = B) impliceert net dat A inverteerbaar (of niet-singulier) is, en vandaar het gevolg? Op welke manier wordt dit dan geimpliceerd?

De reden waarom ik hier zo nauw op inga is de volgende. In een bepaalde cursus heb ik gemerkt dat men voldoende voorwaarde voor inverteerbaarheid stelt dat A-1A = I, mag ik dan aannemen dat dit niet klopt?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 augustus 2005 - 19:12

Dus dat stukje daarboven (met AX = B) impliceert net dat A inverteerbaar (of niet-singulier) is, en vandaar het gevolg? Op welke manier wordt dit dan geimpliceerd?

De reden waarom ik hier zo nauw op inga is de volgende. In een bepaalde cursus heb ik gemerkt dat men voldoende voorwaarde voor inverteerbaarheid stelt dat A-1A = I, mag ik dan aannemen dat dit niet klopt?

Ik snap je probleem niet helemaal. Als A-1 überhaupt bestaat dan is A toch de facto al inverteerbaar! Dus als er voor A geldt dat A-1A = I, dan is A inderdaad inverteerbaar (dat klopt wel). Dat is overigens een equivalentierelatie, en niet louter een implicatie. Hoewel matrices in het algemeen niet commutreren, geldt dat wel voor inverse matrices. Als A inverteerbaar is geldt dus altijd dat A-1A = I = AA-1

#5

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 augustus 2005 - 19:23

Deze definitie komt uit een cursus algebra (en vind ik overal op het web terug in vergelijkbare vorm):

Zij A een vierkante matrix. Men zegt dat A inverteerbaar is als er een vierkante matrix B bestaat zodat
AB = BA = I

Men noteert de matrix B als A-1 en men noemt deze de inverse van A.


Nu vraag ik mij enkel af wat er aan de hand is wanneer je enkel weet dat A-1A = I. Of beter: BA = I.
Misschien was ik wat onduidelijk omdat ik reeds de notatie A-1 gebruikte terwijl ik niet veronderstel dat A inverteerbaar is. Dit komt omdat ik een boekje uit de middelbare school hierbij gebruikte. Bij deze is dat dus hopelijk opgeklaard.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 augustus 2005 - 19:34

Ik denk dat ik je nu begrijp, maar je hanteert wel opnieuw dezelfde 'eerder ongelukkige' notatie.

Veronderstel dus dat we een matrix B vinden waarvoor geldt BA = I
Jouw vraag is nu of dit al voldoende is om te stellen dat B dan A-1 is, en er dus eveneens geldt dat AB = I en dus A inverteerbaar.

Volgens mij volstaat dit inderdaad. De volgende eigenschappen zijn namelijk equivalent:
- A is regulier
- A heeft een linksinverse
- A heeft een rechtsinverse

A is dus de matrix van een isomorfisme en de linksinverse zal automatisch gelijk zijn aan de rechtsinverse, A-1 genoteerd.

#7

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 augustus 2005 - 19:59

Ik denk dat ik je nu begrijp, maar je hanteert wel opnieuw dezelfde 'eerder ongelukkige' notatie.

Veronderstel dus dat we een matrix B vinden waarvoor geldt BA = I
Jouw vraag is nu of dit al voldoende is om te stellen dat B dan A-1 is, en er dus eveneens geldt dat AB = I en dus A inverteerbaar.


Inderdaad!

Volgens mij volstaat dit inderdaad. De volgende eigenschappen zijn namelijk equivalent:
- A is regulier
- A heeft een linksinverse
- A heeft een rechtsinverse

A is dus de matrix van een isomorfisme en de linksinverse zal automatisch gelijk zijn aan de rechtsinverse, A-1 genoteerd.


Hm, heeft linksinvers en rechtsinvers soms iets te maken met injectief en surjectief? Ik heb overlaatst nog bewezen (hopelijk) dat een injectieve/surjectieve lineaire afbeelding van V->V met dim(V)=n bijectief is. Misschien zou ik dat dan kunnen gebruiken voor een bewijs hiervan?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 augustus 2005 - 20:05

Ja hoor, die zijn hier inderdaad equivalent.
Als je injectiviteit of surjectiviteit hebt, dan ook automatisch de andere en dus bijectiviteit.

#9

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 augustus 2005 - 09:18

Ok, bedankt voor de hulp! Nu begrijp ik het alleszins wat beter. :shock:

#10

TomMe

    TomMe


  • >25 berichten
  • 71 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 augustus 2005 - 09:35

Nog een klein vraagje. Hoe kan ik precies de rechts(links-)inverse van een matrix identificeren met de rechts(links-)inverse van een afbeelding?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures