Springen naar inhoud

Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2010 - 02:37

Hallo,

In mijn cursus wordt de oplossing van volgende differentiaalvergelijking als voorbeeld besproken:

2xdy+ydx=0

We pakken dit aan door de veranderlijken te scheiden en daarna te integreren

scheiden geeft: (2/y)dy=(-1/x)dx

integreren per veranderlijke levert: ln(y^2)+ln(|x|)=C met C element van R

Hierna wordt deze algemene oplossing uitgewerkt:

ln((y^2)*|x|)=C
<=> (y^2)*|x|=e^C met C element van R
<=> (y^2)*x=e^C* met C* element van R zonder 0

Ik heb deze uitwerking letterlijk uit mijn cursus dus er zullen geen fouten inzitten

Wat ik niet snap is het equivalentieteken (<=>) die ik in vet gezet heb.

Ik weet dat er door die overgang een singuliere oplossing ontstaat maar hoe kan deze overgang verantwoord worden?
Welke bewerking is op beide leden uitgevoerd om aan die laatste uitdrukking te komen?

Bedankt aan alle liefhebbers!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 februari 2010 - 10:08

(1) <=> (y^2)*|x|=e^C met C element van R
(2) <=> (y^2)*x=e^C* met C* element van R zonder 0

Ben je zeker dat het rode niet gewoon C* is?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2010 - 10:18

Ben je zeker dat het rode niet gewoon C* is?


inderdaad, excuseer, ik had daarover gekeken bij het overlezen!

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 februari 2010 - 10:23

Het is niet zozeer een "bewerking" die gebeurt, maar wel volgende redenering: in de eerste regel kan het rechterlid enkel strikt positief zijn (exponentiŽle functie), je kan het geheel dus vervangen door een strikt positieve constante.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2010 - 10:32

Het is niet zozeer een "bewerking" die gebeurt, maar wel volgende redenering: in de eerste regel kan het rechterlid enkel strikt positief zijn (exponentiŽle functie), je kan het geheel dus vervangen door een strikt positieve constante.


Dus de waardenverzamelingen van de functies e^C en C zijn dezelfde namelijk R+(positieve reŽle getallen) daarom zijn die functies hier onderling verwisselbaar.

Waarom mag nul er niet meer bij in de laatste regel?

Veranderd door motionpictures88, 15 februari 2010 - 10:33


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 februari 2010 - 10:41

Dus de waardenverzamelingen van de functies e^C en C* zijn dezelfde namelijk R+(positieve reŽle getallen) daarom zijn die functies hier onderling verwisselbaar.

Vergeet de * niet, met C in R en C* strikt positief.

Waarom mag nul er niet meer bij in de laatste regel?

De exponentiŽle functie is strikt positief, wordt nergens 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2010 - 10:47

De exponentiŽle functie is strikt positief, wordt nergens 0.


Ok dus net zoals je een singuliere oplossing krijgt door te delen door y en bijgevolg 0 te moeten uitsluiten, zal je hier nul moeten uitsluiten door de redenering (integendeel tot delen door y waar een bewerking de oorzaak is)

Alweer bedankt voor de uitleg!

Veranderd door motionpictures88, 15 februari 2010 - 10:48


#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 februari 2010 - 10:51

Het is dus niet echt uitsluiten, maar een uitdrukking vervangen door een gelijkwaardige uitdrukking. Kortweg zegt men soms "ec met c een willekeurige constante is weer een constante", maar preciezer is deze laatste een strikt positieve constante omdat ec strikt positief is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures