Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 197
Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)
Hallo,
In mijn cursus wordt de oplossing van volgende differentiaalvergelijking als voorbeeld besproken:
2xdy+ydx=0
We pakken dit aan door de veranderlijken te scheiden en daarna te integreren
scheiden geeft: (2/y)dy=(-1/x)dx
integreren per veranderlijke levert: ln(y^2)+ln(|x|)=C met C element van R
Hierna wordt deze algemene oplossing uitgewerkt:
ln((y^2)*|x|)=C
<=> (y^2)*|x|=e^C met C element van R
<=> (y^2)*x=e^C* met C* element van R zonder 0
Ik heb deze uitwerking letterlijk uit mijn cursus dus er zullen geen fouten inzitten
Wat ik niet snap is het equivalentieteken (<=>) die ik in vet gezet heb.
Ik weet dat er door die overgang een singuliere oplossing ontstaat maar hoe kan deze overgang verantwoord worden?
Welke bewerking is op beide leden uitgevoerd om aan die laatste uitdrukking te komen?
Bedankt aan alle liefhebbers!
In mijn cursus wordt de oplossing van volgende differentiaalvergelijking als voorbeeld besproken:
2xdy+ydx=0
We pakken dit aan door de veranderlijken te scheiden en daarna te integreren
scheiden geeft: (2/y)dy=(-1/x)dx
integreren per veranderlijke levert: ln(y^2)+ln(|x|)=C met C element van R
Hierna wordt deze algemene oplossing uitgewerkt:
ln((y^2)*|x|)=C
<=> (y^2)*|x|=e^C met C element van R
<=> (y^2)*x=e^C* met C* element van R zonder 0
Ik heb deze uitwerking letterlijk uit mijn cursus dus er zullen geen fouten inzitten
Wat ik niet snap is het equivalentieteken (<=>) die ik in vet gezet heb.
Ik weet dat er door die overgang een singuliere oplossing ontstaat maar hoe kan deze overgang verantwoord worden?
Welke bewerking is op beide leden uitgevoerd om aan die laatste uitdrukking te komen?
Bedankt aan alle liefhebbers!
- Berichten: 24.578
Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)
Ben je zeker dat het rode niet gewoon C* is?motionpictures88 schreef:(1) <=> (y^2)*|x|=e^C met C element van R
(2) <=> (y^2)*x=e^C* met C* element van R zonder 0
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 197
Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)
Ben je zeker dat het rode niet gewoon C* is?
inderdaad, excuseer, ik had daarover gekeken bij het overlezen!
- Berichten: 24.578
Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)
Het is niet zozeer een "bewerking" die gebeurt, maar wel volgende redenering: in de eerste regel kan het rechterlid enkel strikt positief zijn (exponentiële functie), je kan het geheel dus vervangen door een strikt positieve constante.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 197
Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)
Dus de waardenverzamelingen van de functies e^C en C zijn dezelfde namelijk R+(positieve reële getallen) daarom zijn die functies hier onderling verwisselbaar.Het is niet zozeer een "bewerking" die gebeurt, maar wel volgende redenering: in de eerste regel kan het rechterlid enkel strikt positief zijn (exponentiële functie), je kan het geheel dus vervangen door een strikt positieve constante.
Waarom mag nul er niet meer bij in de laatste regel?
- Berichten: 24.578
Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)
Vergeet de * niet, met C in R en C* strikt positief.Dus de waardenverzamelingen van de functies e^C en C* zijn dezelfde namelijk R+(positieve reële getallen) daarom zijn die functies hier onderling verwisselbaar.
De exponentiële functie is strikt positief, wordt nergens 0.Waarom mag nul er niet meer bij in de laatste regel?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 197
Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)
Ok dus net zoals je een singuliere oplossing krijgt door te delen door y en bijgevolg 0 te moeten uitsluiten, zal je hier nul moeten uitsluiten door de redenering (integendeel tot delen door y waar een bewerking de oorzaak is)De exponentiële functie is strikt positief, wordt nergens 0.
Alweer bedankt voor de uitleg!
- Berichten: 24.578
Re: Oplossen van een differentiaalvergelijking: scheiding der veranderlijken (voorbeeld)
Het is dus niet echt uitsluiten, maar een uitdrukking vervangen door een gelijkwaardige uitdrukking. Kortweg zegt men soms "ec met c een willekeurige constante is weer een constante", maar preciezer is deze laatste een strikt positieve constante omdat ec strikt positief is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)