Springen naar inhoud

Cirkels construeren en bewijzen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

lisette--

    lisette--


  • >100 berichten
  • 213 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2010 - 14:01

Ik zou graag hulp willen bij de volgende opdracht, ik kom er niet helemaal uit.

Hiernaast zie je een driehoek ABC. Een cirkel raakt aan de zijde BC en het verlengde van de zijden AB en AC. Deze cirkel heet een aangeschreven cirkel van driehoek ABC.
a. Bewijs dat het middelpunt van de ingeschreven cirkel, het middelpunt van de aangeschreven cirkel aan zijde BC en punt A op één lijn liggen.
b. De driehoek heeft nog 2 aangeschreven cirkels. neem de figuur over en construeer deze cirkels.

Antwoord A:
- De afstand van het middelpunt (M van de aangeschreven cirkel aan zijde BC) tot aan zijde CE moet gelijk zijn aan de afstand van het middelpunt tot zijde BD. Dus d(M,BC) = d(M,CE). Dit betekent dat het middelpunt van de aangeschreven cirkel op de bissectrise van hoek A ligt.
- De afstand van het middelpunt (N van de ingeschreven cirkel aan zijde BC) tot aan zijde AC moet gelijk zijn aan de afstand van het middelpunt tot zijde AB. Dus d(N,AC) = d(N,AB). Dit betekent dat het middelpunt van de ingeschreven cirkel ook op de bissectrise van hoek A ligt.
--> Het middelpunt van de ingeschreven cirkel, het middelpunt van de aangeschreven cirkel en punt A liggen op één lijn. (is dit bewijs goed, ik denk namelijk dat je het niet zo mag zeggen)

Antwoord B:
- Je moet eerst de ingeschreven en aangeschreven cirkel construeren, die in het figuur horen. Dit doe je door de bissectrise van hoek A te tekenen. Hier moet het middelpunt van de ingeschreven en aangeschreven cirkel op liggen. Hierna neem je de bissectrise van hoek C1 en hoek C2. De bissectrise van hoek C1 gaat door het middelpunt van de ingeschreven cirkel. En de bissectrise van hoek C2 gaat door de aangeschreven cirkel. Nu kun je de ingeschreven cirkel en de aangeschreven cirkel construeren.

maar hoe constueer je nu die andere 2 aangeschreven cirkels? Ik weet dat je iets moet doen met de bissectrises!
Ik heb dit geprobeerd zie bijlage 2: Hoe zorg je er nu voor dat er een ander snijpunt komt?

Bijgevoegde miniaturen

  • Naamloos.gif
  • Naamloos2.gif

Veranderd door lisette--, 15 februari 2010 - 14:03


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 februari 2010 - 14:55

Hiernaast zie je een driehoek ABC. Een cirkel raakt aan de zijde BC en het verlengde van de zijden AB en AC. Deze cirkel heet een aangeschreven cirkel van driehoek ABC.
a. Bewijs dat het middelpunt van de ingeschreven cirkel, het middelpunt van de aangeschreven cirkel aan zijde BC en punt A op één lijn liggen.
b. De driehoek heeft nog 2 aangeschreven cirkels. neem de figuur over en construeer deze cirkels.


maar hoe constueer je nu die andere 2 aangeschreven cirkels? Ik weet dat je iets moet doen met de bissectrises!
Ik heb dit geprobeerd zie bijlage 2: Hoe zorg je er nu voor dat er een ander snijpunt komt?

Het is een open deur, maar dat doe je op dezelfde manier.
Bv: Bekijk hoek B en verleng de benen daarvan, dan kan je het middelpunt van de aangeschreven cirkel construeren door de bissectrice van hoek C4 (die je al hebt getekend) te snijden met de biss van hoek B.

Antwoord A:
- De afstand van het middelpunt (M van de aangeschreven cirkel aan zijde BC) tot aan zijde CE moet gelijk zijn aan de afstand van het middelpunt tot zijde BD. Dus d(M,BC) = d(M,CE). Dit betekent dat het middelpunt van de aangeschreven cirkel op de bissectrise van hoek A ligt.
- De afstand van het middelpunt (N van de ingeschreven cirkel aan zijde BC) tot aan zijde AC moet gelijk zijn aan de afstand van het middelpunt tot zijde AB. Dus d(N,AC) = d(N,AB). Dit betekent dat het middelpunt van de ingeschreven cirkel ook op de bissectrise van hoek A ligt.
--> Het middelpunt van de ingeschreven cirkel, het middelpunt van de aangeschreven cirkel en punt A liggen op één lijn. (is dit bewijs goed, ik denk namelijk dat je het niet zo mag zeggen)

Antwoord B:
- Je moet eerst de ingeschreven en aangeschreven cirkel construeren, die in het figuur horen. Dit doe je door de bissectrise van hoek A te tekenen. Hier moet het middelpunt van de ingeschreven en aangeschreven cirkel op liggen. Hierna neem je de bissectrise van hoek C1 en hoek C2. De bissectrise van hoek C1 gaat door het middelpunt van de ingeschreven cirkel. En de bissectrise van hoek C2 gaat door de aangeschreven cirkel. Nu kun je de ingeschreven cirkel en de aangeschreven cirkel construeren.

Antwoord A is goed.
Zelf zou ik het korter formuleren.
Bewijs

#3

lisette--

    lisette--


  • >100 berichten
  • 213 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 februari 2010 - 18:58

[quote name='Safe' date='15 February 2010, 14:55' post='590416']
Het is een open deur, maar dat doe je op dezelfde manier.
Bv: Bekijk hoek B en verleng de benen daarvan, dan kan je het middelpunt van de aangeschreven cirkel construeren door de bissectrice van hoek C4 (die je al hebt getekend) te snijden met de biss van hoek B.

Dat van de bissectrise van hoek C4 snap ik. Maar waarom de bissectrise van hoek B, kun je dat even uitleggen?

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 februari 2010 - 19:38

Je hebt het gezien van hoek A, de middelptn van de ingeschreven en aangeschreven cirkel (deze raken beide de benen van hoek A) liggen op die bissectrice. Dat geldt ook voor de hoeken B en C op dezelfde wijze.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures