Lastige integraal, goniometrisch

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 15-02-'10, 17:01

JeanJean

Berichten: 393

Lastige integraal, goniometrisch

Ik heb problemen met volgende integraal:
\(\int \frac{dx}{5+4cos(x)}\)
Ik dacht aan een 'substitutie' waarbij t = tg x.

dan is:
\(dx = \frac {dt}{1+t²} \)
en
\(cos x = \frac{1}{\sqrt{1+t²}}\)
En dan krijg je dus (na uitwerken):
\(\int \frac{1}{5+5t²+4\sqrt{1+t²}}\)
Helaas kom ik dan terug vast te zitten.

Kan iemand me helpen hoe het wél moet?

Alvast bedankt
Omhoog

Bericht 15-02-'10, 17:06

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Lastige integraal, goniometrisch

De substitutie t = tan(x/2) is interessanter (dan is cos(x) = (1-t²)/(1+t²) en dx = 2dt/(1+t²)), dan heb je geen wortelvormen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 15-02-'10, 17:08

JeanJean

Berichten: 393

Re: Lastige integraal, goniometrisch

Ik dacht dat die substitutievorm enkel voor 'oneven' functies was?

Nuja, als ik dat doe, kom ik na substitutie het volgende uit:

=
\(2\int \frac{dt}{9-t²}\)
Het probleem is, dat de oplossing hiervan dan een ln-functie is. Deze moet ik uit het hoofd kunnen berekenen, dus betwijfel ik de correctheid...

edit: indien gewenst kan ik de werkwijze hiervan ook uittypen, maar da's tamelijk wat werk voor mij, aangezien ik niet zo goed ben met die tex-codes.
Omhoog

Bericht 15-02-'10, 17:21

phoenixofflames

Berichten: 503

Re: Lastige integraal, goniometrisch

Volgens mij klopt dat niet. Je minteken is fout. ( en de oplossing daarvan is trouwens geen ln :eusa_whistle: )
Omhoog

Bericht 15-02-'10, 17:41

JeanJean

Berichten: 393

Re: Lastige integraal, goniometrisch

edit: inderdaad, het mintekentje was verkeerd. Ik denk wel dat ik er nu geraak, bedankt!
Omhoog

Bericht 15-02-'10, 17:43

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Lastige integraal, goniometrisch

Ik dacht dat die substitutievorm enkel voor 'oneven' functies was?
Hoe kom je daarbij?

In elk geval, nu je de substitutie geprobeerd hebt, zie je dat het zo een stuk eenvoudiger wordt :eusa_whistle:
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 15-02-'10, 18:43

JeanJean

Berichten: 393

Re: Lastige integraal, goniometrisch

@TD: verkeerde interpretatie uit m'n handboek! Vandaar dat ik dat dacht.

Ik zit nog maar eens vast, deze keer bij volgende integraal:
\(\int \frac{1}{(x²-1)²}\)
Ik dacht bij deze onmiddellijk aan splitsen in partieelbreuken. Maar al gauw kwam ik tot ten conclusie dat ik dan terug perfect dezelfde integraal uitkom. Daarom denk ik nu aan recursieformules, maar deze formule moeten we niet kennen voor testen en we hebben er ook geen van deze vorm gezien. Er is dus een andere methode volgens mij...maar welke?

Een andere integraal die ik ook niet kon maken:
\(\int \frac{\sqrt{x²-1}}{x}}\)
Ik dacht aan een substitutie: u = x² - 1

en du = 2x dx

dan krijg je dus:
\(0,5 \int \frac{\sqrt{u}}{u+1}\)
maar dan geraak ik niet meer verder...
Omhoog

Bericht 15-02-'10, 18:59

phoenixofflames

Berichten: 503

Re: Lastige integraal, goniometrisch

Volgens mij werkt het splitsen in partieelbreuken wel. Mss doe je het verkeerd.
Omhoog

Bericht 15-02-'10, 20:20

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Lastige integraal, goniometrisch

Laat je splitsing in partieelbreuken eens zien.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 15-02-'10, 20:29

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Lastige integraal, goniometrisch

JeanJean schreef:Een andere integraal die ik ook niet kon maken:
\(\int \frac{\sqrt{x²-1}}{x}}\)
\(\int \sqrt{1-(1/x)^2}dx\)
Omhoog

Bericht 15-02-'10, 21:01

phoenixofflames

Berichten: 503

Re: Lastige integraal, goniometrisch

Mag dat eigenlijk zomaar? Is de bovenste geen oneven functie en de onderste geen even?
Omhoog

Bericht 15-02-'10, 21:04

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Lastige integraal, goniometrisch

Eventueel sleep je een factor sgn(x) mee om dat te corrigeren, dan zijn ze gelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog

Bericht 16-02-'10, 10:07

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Lastige integraal, goniometrisch

Mag dat eigenlijk zomaar? Is de bovenste geen oneven functie en de onderste geen even?
Bekijk x<-1 en stel y=-x.
Omhoog

Bericht 16-02-'10, 10:52

JeanJean

Berichten: 393

Re: Lastige integraal, goniometrisch

Laat ik eens beginnen met volgende integraal:
\(\frac{dx}{(x²-1)²}\)
Splitsen in partieelbreuken:
\(\frac{1}{(x²-1)²} = \frac{Ax+B}{(x²-1)} + \frac{Cx+D}{(x²-1)²}\)
<=> 1 = (x²-1)(Ax + B) + Cx + D

Dan krijg je:

Coëff x³ = 0 => A = 0

Coëff x² = 0 => B = 0

Coëff x = 0 => -A + C = 0

Coëff x^0 = 1 => -B + D = 1

Besluit A B en C zijn nul, D = 1 => dus ik kom terug dezelfde integraal uit?
Omhoog

Bericht 16-02-'10, 10:54

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Lastige integraal, goniometrisch

Maar je kan x²-1 nog ontbinden in factoren... Je voorstel tot splitsing is dus niet correct.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”