Springen naar inhoud

Homogene lineaire dv 1e orde


  • Log in om te kunnen reageren

#1

MathieuA

    MathieuA


  • >25 berichten
  • 31 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 februari 2010 - 11:32

Eigenschap 1: De algemene oplossing van een lineaire homogene DV ay'+by=0 met constante coŽfficiŽnten is gegeven door y(t) = C * e^rt met C een willekeurige constante en r = -b/a

Bepaal de oplossing van de DV 3y'+2y=0 met beginwaarde y(0)=10

Dit doe ik.

3dy/dx+2dy=0 --> (3dy)/2y=-dx --> 3/2 * ln|y| + Cy = -x + Cx -->

(1)ln|y| = -2/3*X + C
Of
(2)ln|y|= -2/3 *X + 2/3*C?

Als ik (1) verder uitreken dan kom ik y = e^(-2/3*X + C) uit en niet y = C* e^(-2/3x) zoals in eigenschap 1 beschreven.

Graag een beetje hulp
en alvast bedankt voor jullie antwoord!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2010 - 11:38

Gebruik rekenregels van machten om eC af te zonderen, dit is opnieuw een constante die ik c noem:

LaTeX
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 17 februari 2010 - 11:41

Als ik (1) verder uitreken dan kom ik y = e^(-2/3*X + C) uit en niet y = C* e^(-2/3x) zoals in eigenschap 1 beschreven.

Hoogstwaarschijnlijk moet je je berekening nog eens bekijken en uitkomen:
|y| = e^(-2/3*X + C)
toch?
dan is
y= +- e^(-2/3*X + C)
y= +- e^(-2/3*X)* e^C
y= +-e^C * e^(-2/3*X)
Dan zie je dat je +-e^C als nieuwe constante kunt nemen, meestal noemt men deze opnieuw C, of om verwarring te vermijden C' met C' reŽel ZONDER NUL
Dan is y= C' * e^(-2/3*X)
Meestal kun je dan ook eenvoudig aantonen dat y=0 ook een oplossing is, en dan is C' reŽel.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#4

MathieuA

    MathieuA


  • >25 berichten
  • 31 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 februari 2010 - 11:44

Bedankt!
Is dit dan het antwoord of moet ik de constante nog bepalen hoeveel het is?

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2010 - 12:57

De waarde van de constante kan je bepalen aan de hand van de gegeven beginwaarde.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

MathieuA

    MathieuA


  • >25 berichten
  • 31 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 februari 2010 - 13:48

Ik heb de afgeleide gezocht en het ingevuld.
dan kom ik -2C*e^(-2x/3) + 2C*e^(-2x/3) = 0 dit klopt inderdaad. Maar ik heb y(0) = 10 nergens gebruikt? :s

Waar moet ik dit gebruiken?

#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2010 - 13:50

Je oplossing bevat nu nog die constante C. Gebruik de eis dat y(0) = 10 (gewoon invullen, bij x = 0 hoort y = 10) om C te bepalen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

MathieuA

    MathieuA


  • >25 berichten
  • 31 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 februari 2010 - 15:16

In plaats van een nieuw topic aantemaken. Zal ik het hier melden.

Hoe ziet de particuliere oplossing van de DV ay'+by=c? als b = 0?

(zelfstudie en moet alles opzoeken. Geen idee meer dus plaats ik het hier)

Groetjes

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2010 - 15:17

Weet je hoe je een particuliere oplossing kan bepalen, ken je daar al een methode voor?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

MathieuA

    MathieuA


  • >25 berichten
  • 31 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 februari 2010 - 15:18

Bij de 2e orde hebben we al iets gezien. Maar 1e orde, geen idee. Ik denk dat dit hetzelfde is ongeveer.

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2010 - 15:40

Wat heb je dan gezien?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

MathieuA

    MathieuA


  • >25 berichten
  • 31 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 februari 2010 - 15:46

Bijvoorbeeld:
y"-4y'+4y=e^2x

Yp=A*e^2x*x^2

x^2 krijgt men omdat e^2x twee maal voorkomt in de homogene vergelijking Yh
A zoeken en dan heb je Yp. (particuliere vergelijking)

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2010 - 16:26

Inderdaad. En van welke vorm is het rechterlid in deze opgave? Stel opnieuw een particuliere oplossing van die vorm voor.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

MathieuA

    MathieuA


  • >25 berichten
  • 31 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 17 februari 2010 - 16:29

In deze opgave is het gewoon met getallen. Daarom dat ik het helemaal niet weet.
Hoe ziet de particuliere oplossing van de DV ay'+by=c? als b = 0?

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 februari 2010 - 16:49

Stel opnieuw een particuliere oplossing voor van dezelfde vorm; als het rechterlid een getal is (dus een constante), stel dan ook voor: yp = A met A een te bepalen constante. Substitueer in de differentiaalvergelijking om die A te bepalen. Bekijk daarna het geval van b = 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures