Springen naar inhoud

Inductie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

BriAnne

    BriAnne


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2010 - 19:02

Hallo,

Ik wil een aantal dingen bewijzen met behulp van inductie.
Alleen weet ik niet helemaal hoe het in zijn werk gaat.
Zo wil ik bijvoorbeeld bewijzen; n^ 2 > n+1 voor n >= 2
dan hebben we het predikaat P(n) = n^2 > n+1 en dan denk ik met n0 = 2
Dan moet ik eerst laten zien dat P(2) waar is. Dat is simpel want 4 > 3.
Maar daarna moet ik laten zien dat voor k >= 2, als P(k) waar is dat P(k+1) ook waar moet zijn.
Ik weet niet helemaal hoe ik dat moet doen.
k^2 > k+1 ... (k+1)^2 > k +2

Kan iemand me hiermee helpen?

Veranderd door BriAnne, 20 februari 2010 - 19:02


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 20 februari 2010 - 19:32

Hallo,

Ik wil een aantal dingen bewijzen met behulp van inductie.
Alleen weet ik niet helemaal hoe het in zijn werk gaat.
Zo wil ik bijvoorbeeld bewijzen; n^ 2 > n+1 voor n >= 2
dan hebben we het predikaat P(n) = n^2 > n+1 en dan denk ik met n0 = 2
Dan moet ik eerst laten zien dat P(2) waar is. Dat is simpel want 4 > 3.
Maar daarna moet ik laten zien dat voor k >= 2, als P(k) waar is dat P(k+1) ook waar moet zijn.
Ik weet niet helemaal hoe ik dat moet doen.
k^2 > k+1 ... (k+1)^2 > k +2

Kan iemand me hiermee helpen?

Verhoog n met 1.
Kunnen we dan uit n2 > n+1 bewijzen, dat
(n+1)2 > (n+1) + 1?
Trek beide ongelijkheiden van elkaar af: 2n + 1 > 1 en dat is waar voor elk natuurlijk getal > 0.
Dus als n2 > n+1 waar is voor zeker positief getal, dan is
(n+1)2 > (n+1) + 1 dat ook.

Veranderd door thermo1945, 20 februari 2010 - 19:35


#3

BriAnne

    BriAnne


  • 0 - 25 berichten
  • 24 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 20 februari 2010 - 19:45

Ah, kijk. Zo snap ik 't ](*,)

Bedankt! :eusa_whistle:

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 22 februari 2010 - 11:58

Verhoog n met 1.
Kunnen we dan uit n2 > n+1 bewijzen, dat
(n+1)2 > (n+1) + 1?
Trek beide ongelijkheiden van elkaar af: 2n + 1 > 1 en dat is waar voor elk natuurlijk getal > 0.
Dus als n2 > n+1 waar is voor zeker positief getal, dan is
(n+1)2 > (n+1) + 1 dat ook.

Dit bewijs is niet correct. Je maakt gebruik van een ongelijkheid die moet worden aangetoond.

#5

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 februari 2010 - 12:33

Dit bewijs is niet correct. Je maakt gebruik van een ongelijkheid die moet worden aangetoond.

Wat is er dan mis met het bewijs? Een bewijs door inductie bestaat uit twee stappen. BriAnne laat in zijn/haar bericht zien dat er een n (in dit geval 2) zien dat de ongelijkheid geldt. Vervolgens laat Thermo zien dat als de ongelijkheid geldidg is voor n, dat deze ook geldig is voor n+1.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 22 februari 2010 - 12:43

Is mijn toelichting niet duidelijk?

#7

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 februari 2010 - 13:04

Is mijn toelichting niet duidelijk?

Ja, want het bewijs is correct.
Quitters never win and winners never quit.

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 22 februari 2010 - 13:35

Zullen we stemmen ... :eusa_whistle:

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 februari 2010 - 18:17

Is mijn toelichting niet duidelijk?

Niet helemaal... Waar gebruik je de te bewijzen ongelijkheid? Dat n > n+1 geldt, is de inductiehypothese.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 22 februari 2010 - 18:43

Als je ongelijkheid (n+1)>(n+1)+1 gebruikt, gebruik je de ongelijkheid die moet worden aangetoond.

#11

Bart

    Bart


  • >5k berichten
  • 7224 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 februari 2010 - 19:05

Safe, ik neem aan dat je wel bekent met hoe bewijs door inductie in zijn werk gaat?
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 februari 2010 - 19:09

Als je ongelijkheid (n+1)>(n+1)+1 gebruikt, gebruik je de ongelijkheid die moet worden aangetoond.

Het is de bedoeling te tonen dat deze ongelijkheid geldt, in de veronderstelling dat n > n+1 (inductiehypothese) geldt. Gecombineerd met de geldigheid van de ongelijkheid voor een vaste n = k (gewoonlijk na te gaan voor de kleinste k), geldt de ongelijkheid dan ook voor elk natuurlijk getal groter dan k.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9906 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 22 februari 2010 - 23:08

Het is de bedoeling te tonen dat deze ongelijkheid geldt, in de veronderstelling dat n > n+1 (inductiehypothese) geldt. Gecombineerd met de geldigheid van de ongelijkheid voor een vaste n = k (gewoonlijk na te gaan voor de kleinste k), geldt de ongelijkheid dan ook voor elk natuurlijk getal groter dan k.

Helemaal eens.

Te bewijzen: n>n+1 voor k>=2
Bewijs:
1. het geval k=2 onderzoeken ...
2. Uitgaande van het te bewijzen (inductieveronderstelling) aantonen:
(n+1)>(n+1)+1
Dus begin je met (n+1)=n+2n+1>n+1+2n+1>(n+1)+1 voor n>=2 qed (wtbw)

#14

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4172 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 februari 2010 - 11:33

Het is de bedoeling te tonen dat deze ongelijkheid geldt, in de veronderstelling dat n > n+1 (inductiehypothese) geldt. Gecombineerd met de geldigheid van de ongelijkheid voor een vaste n = k (gewoonlijk na te gaan voor de kleinste k), geldt de ongelijkheid dan ook voor elk natuurlijk getal groter dan k.

Ik kan uit dit stuk niet opmaken of het bewijs van thermo1945 correct is.

Veranderd door dirkwb, 23 februari 2010 - 11:34

Quitters never win and winners never quit.

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 februari 2010 - 12:30

Kwestie van smaak misschien, welke manier van noteren je verkiest - wat is voor jou onduidelijk?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures