Springen naar inhoud

Partieel afgeleide m.b.t. gradiŽnt


  • Log in om te kunnen reageren

#1

casper11

    casper11


  • >100 berichten
  • 188 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 februari 2010 - 16:26

Hallo,

ik zit in de zesde en ik moet voor Wiskunde D een Po schijven over vector calculus. Aangezien er tussen mijn kennis en de kennis benodigd voor vector calculus nog wat gaten zitten bij deze vraag:

wat is precies een partieele afgeleide?


Dank

Casper

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

casper11

    casper11


  • >100 berichten
  • 188 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 februari 2010 - 16:32

een vraag stellen is hem reeds beantwoorden. Excuus. Maar toch even voor mijn beeld:

Men gebruikt de partieel afgeleide als je een functie hebt van meerdere variabelen. In mijn geval klopt dat want het gaat om een euclidische ruimte met een x,y,z assenstelsel. Wanneer ik de gradient bepaal, dan gebruik ik de partieel afgeleide om volgens wikipedia het volgende te doen:

In de wiskundige analyse geeft de gradiŽnt van een functie van meer veranderlijken, een scalair veld, de richting aan waarin die functie het sterkst varieert, en de grootte van de variatie.

Dat brengt mij toch bij een vraag: waarvan bepaald men dan precies de partiele afgeleide? Het verschil in grote tussen twee scalairen?

#3

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 februari 2010 - 18:15

Bij een "gewone" (afleidbare) functie van ťťn variabelen, y = f(x), kan je de afhankelijk van y ten opzichte van x (hoe sterk verandert het beeld y = f(x) wanneer x verandert?) bepalen aan de hand van de afgeleide.

Bij een functie van bijvoorbeeld twee onafhankelijke variabelen, z = f(x,y), kan je niet meer zomaar nagaan hoe z verandert wanneer "de variabelen veranderen". Je kan wel kijken naar hoe z verandert als je x laat variŽren, terwijl je y constant houdt (dit geeft aanleiding tot de partiŽle afgeleide naar x) of omgekeerd (partiŽle afgeleide naar y). Je hebt dus niet meer zomaar "de afgeleide", maar je kan spreken over een partiŽle afgeleide naar elke veranderlijke.
De gradiŽnt kan je zien als een veralgemening van "de afgeleide" en is een vector die als componenten precies de partiŽle afgeleiden bevat. Een meetkundige betekenis van deze vector, ga je in je vorig bericht zelf al.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#4

casper11

    casper11


  • >100 berichten
  • 188 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2010 - 10:47

aha oke. Wat ik dan nog niet begrijp is waarvan precies de afgeleide word genomen. Zoals ik het me nu voorstel heb je een drie dimensionaal veld, met oneindig veel punten.

Als dit klopt, dan lijkt het mij dat je van een willekeurig punt een afgeleide kant bepalen d.m.v de partiele afgeleide. Dit is echter niet in overeenstemming met wat wikipedia beweert:

een gradient geeft de richting aan waarin die functie het sterkst varieert, en de grootte van de variatie.

Hoe kan je nou in godsnaam van een punt zeggen hoe sterk hij varieert en hoe groot de variatie is?


Elders op dit forum vond ik al de definitie van een scalaire functie:

Een scalaire functie is een functie die een bepaalde waarde heeft in een punt van de ruimte (tenminste waar ze gedefinieerd is

Wanneer gebruik je een scalaire functie en wanneer gebruik je een scalair veld om de partieele afgeleiden te bepalen of zijn ze gewoon hetzelfde, of komen ze op het zelfde neer?

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 februari 2010 - 12:35

Volgens mij gebruik je hier nog steeds "partiŽle afgeleide" en "gradiŽnt" door elkaar. Verder: je bepaalt de (partiŽle) afgeleide of gradiŽnt van een functie, niet van een punt. Deze heeft wel een zekere waarde in een punt.
Misschien moet je niet te veel tegelijkertijd willen doen, geef eens aan wat je nog begrijpt (of denkt te begrijpen) en waar je dan eerst "vragen hebt", of waar je naartoe wil...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

casper11

    casper11


  • >100 berichten
  • 188 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2010 - 13:59

ja inderdaad. ik spring nu van de hak op de tak.

Wellicht het slimste om mee te beginnen: Hoe moet ik mij precies de functie voorstellen waarvan de afgeleide wordt bepaald.



tweede vraag: De definitie van een gradient is: De gradiŽnt van een functie van meer veranderlijken geeft de richting aan waarin die functie het sterkst varieert, en de grootte van de variatie.
Wat wordt precies bedoeld met ''het geeft de richting aan waarin de functie het sterkst varieert'' Varieert ten opzichte van wat?




Dan de volgende vraag: Hoe volgen uit een afgeleide van een functie twee punten. Ik bedoel de gradiŽnt, die in gewone coŲrdinaten de vector van partiŽle afgeleiden is, moet een bepaald aangrijpingspunt hebben en een ander punt om de richting te bepalen alvorens je kan spreken over een vector, dunkt mij. :eusa_whistle:

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Elders op dit forum zegt men hierover dit: ''De partiŽle afgeleiden van de functie zijn de coŲrdinaten v.e. vector t.o.v. de coŲrdinaatassen.'' Wat is dan het aangrijpingspunt voor de desbetreffende vector? Het punt waarvan je de partiŽle afgeleide hebt genomen?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Veranderd door casper11, 23 februari 2010 - 14:02


#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 februari 2010 - 14:28

Ben je aan het werken met functies van twee veranderlijken (z = f(x,y), waarvan de grafiek voor te stellen is in 3D en de gradiŽnt een vector is met twee componenten) of met functies van drie veranderlijken (kan je niet zomaar in 3D voorstellen)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

casper11

    casper11


  • >100 berichten
  • 188 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2010 - 14:36

ehmm, daar is niks over gezegd, dus laat ik het maar eerst bij het makkelijker gedeelte houden van twee dimensies.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 februari 2010 - 14:46

Je vroeg naar de voorstelling van de functie, voor een functie z = f(x,y) van twee onafhankelijke veranderlijken x en y kan je de functie voorstellen in een x,y,z-assenstelsel waarbij je op de z-as het beeld z = f(x,y) zet. Met elk punt in het (x,y)-vlak, komt zo een beeld overeen die je als "hoogte" weergeeft; het resultaat is een zeker oppervlak in die 3D-ruimte. Is dat alvast duidelijk?

Zie ook hier voor extra uitleg, en deze grafische voorstelling (van hier):

Geplaatste afbeelding
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#10

casper11

    casper11


  • >100 berichten
  • 188 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2010 - 14:57

ja oke, das inderdaad nu duidelijk. is een functie van drie variabelen dan zoiets als bijvoorbeeld een zwembad met water waarin je de stroomsnelheid (vectorveld) en de warmte van een bepaald punt in het zwembad (scalair veld0 kunt meten

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 februari 2010 - 14:59

Bijvoorbeeld ja, dan heeft de functie drie onafhankelijke variabelen (om een plaats in de ruimte vast te leggen): een vectoriŽle functie kan daarmee opnieuw een vector laten overeenkomen (zoals de stroomsnelheid), een scalaire functie een zeker getal (zoals de temperatuur).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

casper11

    casper11


  • >100 berichten
  • 188 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2010 - 15:16

jaja, oke. Nouja dan rest mij nog de volgende vraag zoals ik die al had geformuleerd in een eerder bericht:


tweede vraag: De definitie van een gradient is: De gradiŽnt van een functie van meer veranderlijken geeft de richting aan waarin die functie het sterkst varieert, en de grootte van de variatie.
Wat wordt precies bedoeld met ''het geeft de richting aan waarin de functie het sterkst varieert'' Varieert ten opzichte van wat?

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 februari 2010 - 15:19

Voor twee veranderlijken: de richting waarin je in het xy-vlak moet bewegen opdat het bijhorend beeld z = f(x,y), het sterkst verandert.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

casper11

    casper11


  • >100 berichten
  • 188 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 februari 2010 - 15:27

;) het beeld, daarmee bedoel je dan de afgeleide? Ow wacht even als dat zo is. dan kijk je dus naar de grootste verandering tussen functie en de afgeleide daarvan ](*,)
onee dat is onzin, want je beweegt het xy vlak :eusa_whistle: ik begrijp er niks van


Wat heb je daar dan aan?

Veranderd door casper11, 23 februari 2010 - 15:30


#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 23 februari 2010 - 15:37

:eusa_whistle: het beeld, daarmee bedoel je dan de afgeleide?

Nee, het beeld is de functiewaarde.

Even terug naar een functie van ťťn veranderlijke: y = f(x) met bijvoorbeeld f(x) = x≤, je kan dus ook y = x≤ noteren. Bij een gegeven x, bv. x = 2, hoort een functiewaarde of "beeld", namelijk f(2) = 2≤ = 4. Dus bij x = 2, hoort het beeld y = 4.

Nu voor een functie van twee veranderlijken: z = f(x,y). Bij een gegeven koppel (x,y) (grafisch een punt in het xy-vlak, zie eerdere figuur), hoort een beeld. Dat beeld kan je op de z-as zetten, bekijk de vorige figuur. De gradiŽnt geeft de richting in het xy-vlak waarin je moet bewegen zodat het beeld dat erbij hoort, het sterkst verandert.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures