Springen naar inhoud

Eerste-orde lineaire differentiaalvergelijkingen (algemene oplossing)


  • Log in om te kunnen reageren

#1

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 maart 2010 - 23:45

Hallo,

Ik ben al een even bezig met uit de te zoeken hoe we aan de algmene oplossing van een Eerste-orde lineaire differentiaalvergelijking komen. (Gebruikte methode: scheiding der veranderlijken)

De gereduceerde vergelijking (dus voor b=0) van de vorm: y'+ay=0 met a element van R

heeft als algemene oplossing y= C*e^(-ax) met C element van R

Als ik dit uitwerk kom ik aan:

y'=1/(1/ay) dus je moet integreren naar y met als integrandum: (1/ay)

dit levert volgende vergelijking: x=(1/-a)*ln(|ay|)+C met C element van R
<=> -ax=ln(|ay|)+ln(e)^C
<=> -ax=ln(|a*y*(e^C)|)
<=> a*y*(e^C)=e^(-ax) met C element van R
<=> y=( e^(-ax) )*(1/(a*y*(e^C))) met C element van R

Als je in deze laatste vergelijking (1/(a*y*(e^C))) substitueert met C ,bekom je de algemene oplossing
Maar als je dit doet moet je opletten dat je niet op een andere constante moet overgaan (bvb C* element van R\{0} ). In de algemene oplossing (die boven mijn uitwerking staat) wordt dit niet gedaan, dat is wat ik niet begrijp.

Is het juist dat dat hier niet nodig is omdat e^C een functie is die nergens nul wordt, en dat komt goed uit want e^C mag als deler nergens nul worden, dus er moet niet gemorreld worden aan de constante C?

Alvast bedankt aan alle liefhebbers!

Veranderd door motionpictures88, 12 maart 2010 - 23:46


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 maart 2010 - 10:13

Als ik dit uitwerk kom ik aan:

y'=1/(1/ay)

Je mist een minteken. Wil je niet gewoon dit:
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX
LaTeX

#3

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 13 maart 2010 - 12:14

bedankt voor uw respons!

De methode van het scheiden der veranderlijken heb ik blijkbaar nog niet volledig onder knie! bedankt voor de correctie!

Uw voorlaatste lijn luidt: LaTeX

Wanneer je e^(k2-k1) vervangt door C, moet je hiervoor dan geen nieuwe C* element van R\{0} nemen omdat e^(k2-k1) nergens nul wordt ?

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 maart 2010 - 14:08

Wanneer je e^(k2-k1) vervangt door C, moet je hiervoor dan geen nieuwe C* element van R\{0} nemen omdat e^(k2-k1) nergens nul wordt ?

Je kunt simpel bewijzen dat C = 0 ook een oplossing geeft en dan kun je gewoon weer C uit R nemen.

#5

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 maart 2010 - 12:25

Je kunt simpel bewijzen dat C = 0 ook een oplossing geeft


Dus:
(1)oplossingen van een dergelijke differentiaalvergelijking zijn functies waarvan de eerste afgeleide veelvoud is van oorspronkelijke functie
(2) C=0 voldoet ook aan deze voorwaarde (y=0 y'=0 , nul is een veelvoud van nul),
uit (1) en (2) kan ik besluiten dat C=0 ook een algemene oplossing geeft.

Nogmaals bedankt!
Wegens internetproblemen kon ik niet vroeger antwoorden.

Veranderd door motionpictures88, 15 maart 2010 - 12:33


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 maart 2010 - 20:30

Klopt, op die manier kan je de nuloplossing handig "meenemen" in de algemene vorm van de oplossing.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures