Springen naar inhoud

Vectorruimten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

hir

    hir


  • >100 berichten
  • 114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 maart 2010 - 18:16

Hey, ik heb enkele vragen i.v.m. met vectorruimten :

1) In onze cursus staat dat (R,R[X]n,+) een deelruimte is van (R,R[X],+) ? Ik zie niet goed hoe dit komt, ik zou denken dat het logischer is, moest het omgekeerd zijn.

2) Is een deelruimte eigenlijk een benaming voor een deelverzameling die aan een specifieke eigenschap voldoet, nl. dat alle lineaire combinaties van die (deel)verzameling terug een element vormen van die (deel)verzameling ?



3) Wat is het verband/verschil tussen een lineair afhankelijk deel en een deelruimte ?
Is een la-deel een een deel van een deelverzameling die een deelruimte vormt ?
Kan een lineair onafhankelijk deel een deelverzameling voortbrengen

4) In de cursus staat geschreven dat om voortbrengend te zijn een deelverzameling "groot genoeg" moet zijn en om vrij te zijn " klein genoeg " . Bedoelt men met die "groot genoeg" dat dit zo moet zijn om héél de deelruimte voor te brengen en bij die "klein genoeg" is dit omdat hoe kleiner een deelverzameling is, hoe kleiner de kans dat er een lineair afhankelijk deel bestaat ?

5) Hoe komt dat een basis , een verzameling is die tegelijk voortbrengend en vrij kan zijn ? Wanneer bv B een basis is, dan is vct (B), de deelruimte voortgebracht door B , maar ik dacht dat een verzameling die ook vrij is geen deelruimte kan voortbrengen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 maart 2010 - 22:23

1) In onze cursus staat dat (R,R[X]n,+) een deelruimte is van (R,R[X],+) ? Ik zie niet goed hoe dit komt, ik zou denken dat het logischer is, moest het omgekeerd zijn.

Het rode zijn alle veeltermen, het blauwe slechts de veeltermen van graad n - is het dan al logischer?

2) Is een deelruimte eigenlijk een benaming voor een deelverzameling die aan een specifieke eigenschap voldoet, nl. dat alle lineaire combinaties van die (deel)verzameling terug een element vormen van die (deel)verzameling ?

Een deelruimte D (van een vectorruimte V) is een deelverzameling van V die zelf ook een vectorruimte vormt; in de praktijk kijk je dit inderdaad na door na te gaan of lineaire combinaties binnen D blijven (en of D niet-leeg is, bv. door de nulvector te controleren).

3) Wat is het verband/verschil tussen een lineair afhankelijk deel en een deelruimte ?
Is een la-deel een een deel van een deelverzameling die een deelruimte vormt ?
Kan een lineair onafhankelijk deel een deelverzameling voortbrengen

Je eerste vraag begrijp ik niet goed, wat voor "verband" zoek je hier? De lineaire (on)afhankelijkheid van vectoren is een eigenschap van een stel vectoren die je in elke vectorruimte kan nagaan. Een lineair onafhankelijk stel kan een deelruimte voortbrengen; elke basis doet dat bijvoorbeeld...

4) In de cursus staat geschreven dat om voortbrengend te zijn een deelverzameling "groot genoeg" moet zijn en om vrij te zijn " klein genoeg " . Bedoelt men met die "groot genoeg" dat dit zo moet zijn om héél de deelruimte voor te brengen en bij die "klein genoeg" is dit omdat hoe kleiner een deelverzameling is, hoe kleiner de kans dat er een lineair afhankelijk deel bestaat ?

Groot genoeg want je wil "alles" kunnen voortbrengen, in het ene extreem neem je de hele ruimte: die brengt uiteraard de ruimte voort. Klein genoeg want je wil geen "overbodige vectoren", elke afhankelijke vector kan je laten vallen zonder voortbrengendheid te verliezen. Het begrip "basis" balanceert in dit opzicht dus tussen "groot genoeg" (voortbrengend) en "klein genoeg" (lineair onafhankelijk = vrij).

5) Hoe komt dat een basis , een verzameling is die tegelijk voortbrengend en vrij kan zijn ?

Dat is de definitie van een basis...

Wanneer bv B een basis is, dan is vct (B), de deelruimte voortgebracht door B , maar ik dacht dat een verzameling die ook vrij is geen deelruimte kan voortbrengen?

Dat klopt niet, zie ook eerder. Elke basis is vrij en brengt een vectorruimte voort.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

hir

    hir


  • >100 berichten
  • 114 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 27 maart 2010 - 20:48

1) ja dat maakt het al wat logischer, kdacht dat het rode enkel over eerstegraadsveelterm ging

2) Ja dat weet ik, maar ik vroeg me af of een deelruimte, een verzameling(met die 2 eign. diej je zei) is of slaagt deelruimte op iets anders ?

3) Ja, ik vroeg me af wat deze 2 begrippen met elkaar te maken hebben. Omdat ze in de cursus in hetzelfde hoofdstuk voorkomen en men het bij beide begrippen heeft over lineaire combinatie. Zij D C Vectorruimte V, dan is D toch een lineair afhankelijk deel als er een element v van D bestaat waarvoor geldt dat v element is van vct(D\{v}). Dus zie je toch ook hier weer een deelruimte in de vorm van vct(D\{v}) ?

5) Ja hier weet ik het zelf niet zo goed, maar ik dacht omdat in een vrij deel de elementen geen lineaire combinatie van elkaar kunnen zijn, dat deze elementen ook geen deelruimtekunnen vormen omdat dit een nodig voorwaarde is. Of hoe zie ik dit verkeerd ?

Veranderd door hir, 27 maart 2010 - 20:48


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 27 maart 2010 - 20:55

2) Ja dat weet ik, maar ik vroeg me af of een deelruimte, een verzameling(met die 2 eign. diej je zei) is of slaagt deelruimte op iets anders ?

Een deelruimte is meer dan een verzameling, het is zelf een vectorruimte. Het "slaagt" overigens nergens op... :eusa_whistle:

3) Ja, ik vroeg me af wat deze 2 begrippen met elkaar te maken hebben. Omdat ze in de cursus in hetzelfde hoofdstuk voorkomen en men het bij beide begrippen heeft over lineaire combinatie. Zij D C Vectorruimte V, dan is D toch een lineair afhankelijk deel als er een element v van D bestaat waarvoor geldt dat v element is van vct(D\{v}). Dus zie je toch ook hier weer een deelruimte in de vorm van vct(D\{v}) ?

Als vct(D) = vct(D\{v}) met v een element van D, dan is D inderdaad een lineair afhankelijk stel vectoren. D en D\{v} brengen dus dezelfde vectorruimte voort en D zal alleszins geen basis kunnen zijn, D\{v} misschien wel - als dit een lineair onafhankelijk stel is. Maar wat is nu je vraag hierover?

5) Ja hier weet ik het zelf niet zo goed, maar ik dacht omdat in een vrij deel de elementen geen lineaire combinatie van elkaar kunnen zijn, dat deze elementen ook geen deelruimtekunnen vormen omdat dit een nodig voorwaarde is. Of hoe zie ik dit verkeerd ?

Dat zie je inderdaad verkeerd... Een basis zelf is geen deelruimte (of vectorruimte), het brengt wel een vectorruimte voort. Een stel vectoren B is een basis voor een vectorruimte V als vct(B) = V en als B een lineair onafhankelijk stel is. Dit laatste impliceert alvast dat B zelf geen vectorruimte is, de nulvector zit bijvoorbeeld nooit in B maar wel in elke vectorruimte.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures