Vrij deel, vectorruimten

hir

Zij V de vectorruimte van de continue functies van R naar R. Beschouw hierin de deelverz. D={sin,cos,exp}

Is D een vrij deel van V ? en hoe kan je dit bewijzen.

mvg.

Klintersaas

Wat is je definitie van een vrij deel en hoe zou een tegenvoorbeeld van deze stelling er dus uit moeten zien?

hir

Indien het vrij is, aantonen dat de lineaire combinatie van deze vectoren die de nulvector oplevert, enkel mogelijk is wanneer allé coëfficiënten 0 zijn ?

TD

Inderdaad, schrijf dat eens uit en kies een aantal handige waarden voor x (of hoe je je argumenten ook noemt).

hir

Maar als je bepaalde waarden voor x kiest, geldt het toch niet noodzakelijk voor alle x ?

TD

Alle coëfficiënten 0 nemen levert sowieso de nulvector (nulfunctie). De functies zijn lineair afhankelijk als je ook een niet-nulle lineaire combinatie kan maken die, voor alle x, de nulfunctie levert. Als je vindt dat de coëfficiënten nul moeten zijn om aan de gelijkheid te voldoen voor bepaalde waarden van x, dan moeten ze zeker nul zijn opdat de gelijkheid zou gelden voor alle waarden van x.

hir

Alle coëfficiënten 0 nemen levert sowieso de nulvector (nulfunctie). De functies zijn lineair onafhankelijk als je ook een niet-nulle lineaire combinatie kan maken die, voor alle x, de nulfunctie levert. Als je vindt dat de coëfficiënten nul moeten zijn om aan de gelijkheid te voldoen voor bepaalde waarden van x, dan moeten ze zeker nul zijn opdat de gelijkheid zou gelden voor alle waarden van x.

Wat je daar gezegd hebt wat in het rood staat is verkeerd denk ik. We noemen een deelverzameling D een vrij deel als de enige lineaire combinatie van verschillende vectoren uit D die de nulvector opleveren, de lineaire combinatie is waarbij alle coëfficiënten nul zijn.

Wat je in het laatste gedeelte heb gezegd, begrijp ik ook niet zo goed. Mag je zomaar besluitenals het voor een specifiek geval zo is, dat het algemeen ook geldt ?

TD

Wat je daar gezegd hebt wat in het rood staat is verkeerd denk ik.

Daar stond "on" te veel, dan zijn de functies natuurlijk lineair afhankelijk; inmiddels aangepast.

Wat je in het laatste gedeelte heb gezegd, begrijp ik ook niet zo goed. Mag je zomaar besluitenals het voor een specifiek geval zo is, dat het algemeen ook geldt ?

Opdat de functies lineair afhankelijk zouden zijn moet je coëfficiënten vinden, niet alle nul, zodat een lineaire combinatie de nulfunctie geeft, voor elke x.

TD

Je wil dus coëfficiënten a, b en c vinden zodat:

\(a\sin x + b\cos x + c{e^x} = 0\)

Uiteraard voldoet a=b=c=0. Kan het ook anders?

Opdat het zou gelden voor x=0, moet alvast:

\(a\sin 0 + b\cos 0 + c{e^0} = 0 \Rightarrow b + c = 0\)

Maar het moet voor alle x gelden, kies handig verder.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Vrij deel, vectorruimten

Vrij deel, vectorruimten

Re: Vrij deel, vectorruimten

Re: Vrij deel, vectorruimten

Re: Vrij deel, vectorruimten

Re: Vrij deel, vectorruimten

Re: Vrij deel, vectorruimten

Re: Vrij deel, vectorruimten

Re: Vrij deel, vectorruimten

Re: Vrij deel, vectorruimten