Tijd bij versnelling

Moderator: physicalattraction

Reageer

Bericht 16-03-'10, 17:16

EvilBro

Berichten: 7.068

Tijd bij versnelling

In een referentiestelsel beschrijft \(x(t)\) de positie van een klok. De snelheid van de klok wordt beschreven door \(v(t)\). Over een klein genoeg tijdsinterval \(\Delta t\) veronderstellen we dat \(v(t)\) constant is. In dat tijdsinterval wordt er dan dus \(v(t) \cdot \Delta t\) afstand afgelegd. Met dit gegeven kunnen we nu berekenen:
\(\Delta t' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} (\Delta t - \frac{v \Delta x}{c^2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} (\Delta t - \frac{v^2 \Delta t}{c^2}) = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \cdot \Delta t\)
Het interval \(t = 0\) t/m \(t = t_0\) wordt nu bekeken. Dit interval wordt opgesplitst in N gelijke stukken. Voor elk van de stukken wordt aangenomen dat hierin de snelheid constant (genoeg) is. Er geldt dan:
\(\sum{\Delta t'} = \sum_{k = 0}^{N}{\sqrt{1 - \frac{v(k \cdot \frac{t_0}{N})^2}{c^2}} \cdot \frac{t_0}{N}}\)
Met de limiet van N gaat naar oneindig (herken de riemannse som...) wordt dit:
\(t'_0 = \int_0^{t_0} \sqrt{1 - \frac{v(t)^2}{c^2}} dt\)


Ik denk nu dat deze integraal aangeeft wat er op de bewegende klok staat op het moment dat er in het referentiestelsel (in rust) op tijdstip \(t_0\) op de plek van de klok gekeken wordt. Klopt dit of zie ik iets over het hoofd?
Omhoog

Bericht 16-03-'10, 17:56

Marko

Gebruikersavatar
Berichten: 10.563

Re: Tijd bij versnelling

Ik weet het antwoord niet, maar mag je stellen dat \((\Delta t)' = \Delta (t')\)?
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
Omhoog

Bericht 16-03-'10, 21:09

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Tijd bij versnelling

\(t' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} (t - \frac{v x}{c^2})\)
\(t' + \Delta t' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} (t + \Delta t - \frac{v (x + \Delta x)}{c^2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} (t + \Delta t - \frac{v x + v \Delta x}{c^2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} (t + \Delta t - \frac{v x + v (v \Delta t)}{c^2})\)
\(= \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} (t + \Delta t - \frac{v x}{c^2} - \frac{v (v \Delta t)}{c^2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} (t - \frac{v x}{c^2}+ \Delta t - \frac{v^2 \Delta t}{c^2}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} (t - \frac{v x}{c^2}+ \Delta t (1 - \frac{v^2}{c^2}))\)
dus:
\(\Delta t' = (t' + \Delta t') - t' = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \Delta t (1 - \frac{v^2}{c^2}) = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \Delta t' \)
Omhoog

Bericht 17-03-'10, 19:40

Marko

Gebruikersavatar
Berichten: 10.563

Re: Tijd bij versnelling

Ik heb hier heel lang naar zitten staren, en het is me nog niet helemaal duidelijk:

- zie ik het goed en staat er op de onderste regel ten onrechte \(\Delta t'\) en moet dit \(\Delta t\) zijn?

- als het inderdaad \(\Delta t\) is, dan lijkt dit inderdaad aan te tonen dat de getransformeerde van \(\Delta t\) inderdaad gelijk is aan de intervallen van de getransformeerde tijden.

In dat geval lijkt de afleiding inderdaad gerechtvaardigd. En mag je dan zo verder gaan: Stel dat je versnelling constant is, dan kun je invullen v(t) = at, en de integraal uitrekenen. Zegt dat dan iets over de transformatie van t voor een eenparig versnellende waarnemer?
Cetero censeo Senseo non esse bibendum
Omhoog

Bericht 17-03-'10, 23:08

EvilBro

Berichten: 7.068

Re: Tijd bij versnelling

- zie ik het goed en staat er op de onderste regel ten onrechte \(\Delta t'\) en moet dit \(\Delta t\) zijn?
Dat zie je goed. Dat laatste '-tje moet er niet.
En mag je dan zo verder gaan: Stel dat je versnelling constant is, dan kun je invullen v(t) = at, en de integraal uitrekenen. Zegt dat dan iets over de transformatie van t voor een eenparig versnellende waarnemer?
Ik zou denken van wel, al zie ik daarmee wel een probleem. Met v(t) = at kom je op een gegeven moment bij een t zodat v > c. Dat kan niet. Misschien dat het probleem wel zit in de hoeveelheid energie die nodig is om de constante versnelling te handhaven...
Omhoog
Reageer

Terug naar “Relativiteitstheorie”