Springen naar inhoud

State space hulp gevraagd


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Chip

    Chip


  • >100 berichten
  • 157 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 19 maart 2010 - 23:05

Ik hoop dat iemand hier een beetje verstand heeft van system engineering :eusa_whistle:

Ik heb 2 formules die ik moet omzetten naar een state space diagram, en ik heb even hulp nodig hoe dat bij deze moet.

State space is gedefinieerd als;

LaTeX
LaTeX

Waarbij A(t) de state matrix is. B(t) is de input matrix. C(t) de output matrix. D(t) de feedforward matrix is, in dit geval is het echter een nul matrix.

Het systeem gaat over een pendulum systeem. Ik heb 2 slingers waarvan de 1ste slinger vast zit aan motor. De 2de zit vast aan de 1ste slinger en kan vrij bewegen. Ik heb 1 input, koppel dat word gegeven aan de 1ste slinger. En 4 outputs. hoek en hoekversnelling van de 2 slingers.

Dit is trouwens een bestaand project geweest van 5 studenten van het kth, http://www.e.kth.se/...Finalreport.pdf.

Op pagina 15 staan 2 formules waarmee de hoek versnelling word gegeven. Deze kan ikzelf gewoon afleiden, dat lukt me gewoon.

LaTeX

LaTeX

Vervolgens zegt men
(2.25 en 2.27 zijn LaTeX en LaTeX )
Geplaatste afbeelding

Allemaal leuk en wel maar wat staat er dus eigenlijk op de plaatsen f1(...) en f2(...)? Welke vergelijkingen? Dat snap ik niet precies. Ook snap ik de vorm niet helemaal als ik kijk naar de vorm, die ik boven als eerst heb gegeven...

Iemand die me dit kan uitleggen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 20 maart 2010 - 19:14

Van wat ik weet van systemen gaat het hier over een ABCD-model?

Maar een ABCD-model is enkel bruikbaar voor lineaire tijdsonafhankelijke causale systemen.
Om de een of andere reden zijn jouw ABCD-matrices tijdsafhankelijk? Dat begrijp ik ook niet goed...

Dus, wat je (volgens mij) eerst gaat moeten doen is lineariseren rond een werkpunt, en dan kun je op basis daarvan gemakkelijk je matrices opstellen.

Dus: nu staan in je vergelijking links al de 2 toestanden, dus dat is OK. Je lineariseert de vergelijking rechts rond je werkpunt, dan ga je 4 coŽfficienten uitkomen die je in je matrix moet plaatsen. Dit is volgens mij dan ook wat met f1 en f2 bedoelt wordt.
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#3

Chip

    Chip


  • >100 berichten
  • 157 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 maart 2010 - 10:40

Van wat ik weet van systemen gaat het hier over een ABCD-model?

Maar een ABCD-model is enkel bruikbaar voor lineaire tijdsonafhankelijke causale systemen.
Om de een of andere reden zijn jouw ABCD-matrices tijdsafhankelijk? Dat begrijp ik ook niet goed...

Dus, wat je (volgens mij) eerst gaat moeten doen is lineariseren rond een werkpunt, en dan kun je op basis daarvan gemakkelijk je matrices opstellen.

Dus: nu staan in je vergelijking links al de 2 toestanden, dus dat is OK. Je lineariseert de vergelijking rechts rond je werkpunt, dan ga je 4 coŽfficienten uitkomen die je in je matrix moet plaatsen. Dit is volgens mij dan ook wat met f1 en f2 bedoelt wordt.


Jawel, kan ook voor tijdsafhankelijke systemen voor niet tijdsafhankelijke systemen is het gedefinieerd als:
LaTeX
LaTeX

en voor tijdsafhankelijke systemen:
LaTeX
LaTeX

Waar ik dus probeer achter komen is;
LaTeX

Welke formules achter a31 tot a44, b3 en b4 zitten.

En wat
LaTeX
is, waarover helemaal niks word over gezegd. D(t) is 0, dat weet ik dan wel nog :eusa_whistle:

Veranderd door Wouser, 22 maart 2010 - 10:41


#4

Jekke

    Jekke


  • >250 berichten
  • 997 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 maart 2010 - 12:02

Je hebt gelijk dat de matrices tijdafhankelijk mogen/kunnen zijn, maar 317070 heeft wel gelijk dat je zult moeten lineariseren, een gekoppeld pendulum is immers geen lineair systeem meer en de state space vorm met matrices en vectoren is enkel geldig voor lineaire systemen.

Dit systeem lineariseren lijkt me geen prettige (en veilige?) klus. Hoe dan ook: Dan schrijf je dus de 4 uitdrukkingen voor LaTeX , LaTeX , LaTeX en LaTeX en lineariseer je in de variabelen LaTeX , LaTeX , LaTeX en LaTeX (wegwerken uit trigonometrische uitdrukkingen, ... bvb dmv machtreeksen rond een te kiezen werkpunt). Eens die onwaarschijnlijke klus geklaard is kun je op basis van die 4 gelinearizeerde uitdrukkingen de matrices A(t) en B(t) opstellen. Verder weet je al dat D(t)=0 en C(t)=I.

edit: ik zie nu pas dat er in de link die je meegeeft een sectie staat over het lineair maken van het betreffende systeem (sectie 2.4)

Veranderd door HolyCow, 22 maart 2010 - 12:08


#5

Chip

    Chip


  • >100 berichten
  • 157 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 maart 2010 - 23:42

Bedankt voor je antwoord allereerst. Eerst een vraagje over LaTeX . Waarom staat er geen tau in de 4de rij van de matrix? Tau komt immers ook voor in de 2de vergelijking...? Ik snap dat tau wel echter alleen werkt op de eerste link omdat die dus op de motor die de tau levert is aangesloten. Echter hij werkt indirect ook op de 2de link.

LaTeX

2de puntje over dat linearisatie, in principe passen ze dus het volgende toe;
http://en.wikipedia....f_linearization

Dus wat ik doe is om me matrix te bepalen is de jacobiaan van me matrix bepalen. Wat dus
LaTeX

Vervolgens heb ik dus een werkpunt waarbij ik dan LaTeX definieer. Bijvoorbeeld...
LaTeX . Waarna ik dan bijvoorbeeld bij LaTeX differentieer naar LaTeX en de rest constant hou en daar dus de waardes van het werkpunt invul.

Wat dus...

LaTeX

LaTeX

LaTeX

LaTeX

Nu zit ik alleen nog met LaTeX in me buik... of niet?

ps. volgens mij snap ik de ballen ervan ](*,) met me hbo wiskunde :'(, ook zie ik de taylor reeks eigenlijk in dit rijtje nu nergens naar voren komen :eusa_whistle:

#6

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 23 maart 2010 - 11:00

Nu zit ik alleen nog met LaTeX

in me buik... of niet?

Nadat je die afgeleide berekent hebben, kun je gewoon je werkpuntwaarden invullen in die afgeleide, en dan bekom je dus 1 getal (onafhankelijk van alle variabelen). Dat is het getal dat je dan in de matrix moet invullen.

Je moet er dan wel in je uiteindelijk model mee rekening houden, dat dit slechts een benadering is, en dus dat die slingers beter niet te ver uitwijken van je werkpunt :eusa_whistle:
What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-

#7

Chip

    Chip


  • >100 berichten
  • 157 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 maart 2010 - 13:47

Nou ik heb dan die partiele afgeleide ook dan maar door maple laten doen... Alleen zit LaTeX nog in hetgene wat ik overhoud...

In de .pdf staat de berekening (LaTeX )
[attachment=5237:Maple.pdf]

Volgens mij doe ik iets fout of heb ik je niet helemaal begrepen.

Veranderd door Wouser, 23 maart 2010 - 13:49


#8

Chip

    Chip


  • >100 berichten
  • 157 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 mei 2010 - 14:03

Nou ik heb het een tijdje laten liggen omdat ik met andere zaken bezig was. Ik heb dit nu weer opgepakt maar heb gebruik ik nu mathematica. Toch wat fijner vanwege de betere documentatie van het programma.

A1 := 0.0133823
A2 := 0.00527512
A3 := 0.00527512
A4 := 0.654708
B1 := 0.00527512
B2 := 0.00927237
B3 := 0.00527512
B4 := 0.246474

De twee formules in mathematica

LaTeX

Input mathematica LaTeX
f''[x1] := 1/(A1*A2*Cos[x1 - x2]^2/B2 - A1)(A2*B3*f'[x1]^2*Sin[2*(x1 - x2)]/(2*B2) + A3*Sin[x1 - x2]*f'[x2]^2 - A2*B4*Cos[x2]*Cos[x1 - x2]/B2 + A4*Cos[x1] - tau)

LaTeX

Input mathematica LaTeX
f''[x2] := 1/(B1*A2*Cos[x1 - x2]/A1 - B2)(-B1*A3*Sin[2(x1 - x2)]*f'[x2]^2/(2*A1) - B3*Sin[x1 - x2]*f'[x1]^2 - B1*A4*Cos[x1]*Cos[x1 - x2]/A1 + B4*Cos[x2] + B1*tau*Cos[x1 - x2]/A1)

Vervolgens heb ik dan de partiŽle afgeleide berekend m.b.v.

D[f''[x1],x1]
D[f''[x1],x2]
D[f''[x1],f'[x1]]
D[f''[x1],f'[x2]]

Wanneer ik vervolgens dan de partiŽle afgeleide van D[f''[x1],x1] bereken (dus... LaTeX )

Krijg ik (numerieke waardes van A1..A4, B1..B4 zijn dan ingevuld.)
(0.0152266 Cos[x1-x2] Sin[x1-x2] (-tau+0.654708 Cos[x1]-0.140221 Cos[x1-x2] Cos[x2]+0.00150053 Sin[2 (x1-x2)] (f^\[Prime])[x1]^2+0.00527512 Sin[x1-x2] (f^\[Prime])[x2]^2))/(-0.0133823+0.00761329 Cos[x1-x2]^2)^2+(-0.654708 Sin[x1]+0.140221 Cos[x2] Sin[x1-x2]+0.00300105 Cos[2 (x1-x2)] (f^\[Prime])[x1]^2+0.00527512 Cos[x1-x2] (f^\[Prime])[x2]^2+(0.00300105 Sin[2 (x1-x2)] (f^\[Prime])[x1] (-tau+0.654708 Cos[x1]-0.140221 Cos[x1-x2] Cos[x2]+0.00150053 Sin[2 (x1-x2)] (f^\[Prime])[x1]^2+0.00527512 Sin[x1-x2] (f^\[Prime])[x2]^2))/(-0.0133823+0.00761329 Cos[x1-x2]^2))/(-0.0133823+0.00761329 Cos[x1-x2]^2)

Wanneer ik dan de werkpunten invul LaTeX

krijg je daar 0 uit. Terwijl dat niet moet... zou iets moeten zijn van 62,4076 of iets. Wat ik ook niet snap is dat ik de taylor reeks zou moeten gebruiken als ik naar, http://en.wikipedia....f_linearization, kijk alleen zegt 317070 daar niets over...

ps. Is de notatie van f''[x1] en f'[x1] wel goede notatie voor afgeleide in een formule zelf?

#9

317070

    317070


  • >5k berichten
  • 5567 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 mei 2010 - 18:09

Wat ik ook niet snap is dat ik de taylor reeks zou moeten gebruiken als ik naar, Bericht bekijken

Dus, wat je (volgens mij) eerst gaat moeten doen is lineariseren rond een werkpunt, en dan kun je op basis daarvan gemakkelijk je matrices opstellen.

Het wiskundige idee achter lineariseren is dat de sluitterm van een Taylorreeks bij analytische functies steeds kleiner en kleiner worden. Dus kun je de grotere graden uit je Taylorreeks gaan verwaarlozen. Lineariseren is dan alle termen van de 2e graad en meer verwaarlozen uit je Taylorreeks (waardoor je functie lineair wordt).
Maar strikt genomen heb je dit niet nodig om het uit te kunnen rekenen, enkel om te verklaren waarom het werkt.

Verder kan ik je niet helpen, omdat ik zelf ook mathematica niet ken (en de formule er nu niet bepaald ordelijk uitziet.)

Edit: wat heb je nu als werkpuntwaarde voor ](*,) gekozen?

Veranderd door 317070, 30 mei 2010 - 18:20

What it all comes down to, is that I haven't got it all figured out just yet
And I've got one hand in my pocket and the other one is giving the peace sign
-Alanis Morisette-





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures