Goniometrische limiet

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer

Bericht 20-03-'10, 18:32

Prot

Berichten: 478

Goniometrische limiet

Hallo, ik hoop dat iemand me hier mee kan helpen:
\( \lim \frac{1-cos 2x}{x²}\)
\(x\)
:eusa_whistle: 0

Dit is een onbepaaldheid in de vorm van 0/0. Ik dacht om deze limiet te schrijven als:
\( \lim (\frac{1}{x²} - \frac{cos 2x}{x²})\)
\(x\)
;) 0

Dat mag ik toch schrijven als:
\(\lim \frac{1}{x²}\)
-
\(\lim \frac{cos 2x}{x²}\)
\(x\)
;) 0

Dan wordt dat:
\(\lim \frac{1}{x²}\)
= +(of -) 8-)
\(x\)
;) 0
\(\lim \frac{cos 2x}{x²}\)
= ?
\(x\)
](*,) 0

Hoe moet ik deze limiet oplossen? Of is er een betere methode?
Omhoog

Bericht 20-03-'10, 19:44

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Goniometrische limiet

Gebruik de formule voor cos(2x) naar sin(x). Het gaat om de standaardlimiet sin(x)/x(x->0)
Omhoog

Bericht 20-03-'10, 20:36

Prot

Berichten: 478

Re: Goniometrische limiet

Ja we hebben gezien:
\( \lim \frac{sin x}{x}\)
= 1
\( x \)
:eusa_whistle: 0

Ah met de verdubbelingsformules?
\(cos 2x= 1-sin²x\)
Dus:
\( \lim\frac{1 - cos2x}{x²}\)
=
\( \lim\frac{1-(1-sin²x)}{x²}\)

\( x\)
](*,) 0
\( \lim\frac{sin²x}{x²}\)
=1
\(x\)
;) 0

Dus de limiet is 1?
Omhoog

Bericht 20-03-'10, 20:40

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Goniometrische limiet

Prima, maar liever nog een tussenstap. Welke? En dus welke stelling?
Omhoog

Bericht 20-03-'10, 21:39

Prot

Berichten: 478

Re: Goniometrische limiet

Prima, maar liever nog een tussenstap. Welke? En dus welke stelling?
Bedoel je deze?
\( \lim (\frac{sin²x}{x²})\)
=

x :eusa_whistle: 0
\( \lim (\frac{sinx}{x})²\)
=
\( \lim (\frac{sinx}{x} \cdot \frac{sinx}{x})\)
x ](*,) 0

(de limiet van een product= het product van de limieten).

=
\( \lim (\frac{sinx}{x})\)
\( \cdot\)
\( \lim (\frac{sinx}{x})\)
=

1.1 = 1

In ons handboek staat bij de oplossingen dat de oplossing van deze opgave 2 is, is dat dan een fout van het handboek?
Omhoog

Bericht 20-03-'10, 21:46

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Goniometrische limiet

Dat klopt, je hebt die 2 in de formule over het hoofd gezien evenals ik in het antwoord.

Verder is die tussenstap de bedoeling.
Omhoog

Bericht 20-03-'10, 22:03

Prot

Berichten: 478

Re: Goniometrische limiet

Safe schreef:Dat klopt, je hebt die 2 in de formule over het hoofd gezien evenals ik in het antwoord.

Verder is die tussenstap de bedoeling.


Kan je misschien die 2 laten zien? Want ik zie het niet direct.
Omhoog

Bericht 20-03-'10, 22:16

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Goniometrische limiet

L'Hospital levert sin(2x)/2x, nogmaals toepassen levert 2cos(2x)/2=cos(2x).

Invullen geeft cos(0)=1, dat klopt, maar...

cos 2A = 1 - 2 sin² A
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 20-03-'10, 22:31

Prot

Berichten: 478

Re: Goniometrische limiet

In fysics I trust schreef:L'Hospital levert sin(2x)/2x, nogmaals toepassen levert 2cos(2x)/2=cos(2x).

Invullen geeft cos(0)=1, dat klopt, maar...

cos 2A = 1 - 2 sin² A
Ik zie het nog altijd niet. En we hebben L'hopital nog niet geleerd.
Omhoog

Bericht 20-03-'10, 22:31

Safe

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Goniometrische limiet

Waar heb je de formule(s) van cos(2x) gezien?

@fys... waarom voorzeggen?
Omhoog

Bericht 20-03-'10, 22:34

Prot

Berichten: 478

Re: Goniometrische limiet

Safe schreef:Waar heb je de formule(s) van cos(2x) gezien?

@fys... waarom voorzeggen?£
Bij goniometrie? Waar anders?

Maar
\( cos2x= cos²x-sin²x \)
\( = 2cos²x -1 \)
\( = 1-2sin²x \)
Ah oei ik was vergeten dat het
\( 2 sin²x \)
was

Nu begrijp ik het.
Omhoog

Bericht 20-03-'10, 22:36

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Goniometrische limiet

@Safe: normaal doe ik dat niet, maar ik had het idee dat hij dacht dat de fout in de uitwerking van de limiet van sin(x)/x zat, vandaar.

Sorry, anyway!

@Prot: L'Hospital heb je niet geleerd, maar je hebt wel geleerd dat de limiet van sin(x)/x = 1 ?
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 20-03-'10, 22:37

Prot

Berichten: 478

Re: Goniometrische limiet

@Prot: L'Hospital heb je niet geleerd, maar je hebt wel geleerd dat de limiet van sin(x)/x = 1 ?


Ja :eusa_whistle:
Omhoog

Bericht 20-03-'10, 23:35

In physics I trust

Gebruikersavatar
Berichten: 7.390

Re: Goniometrische limiet

Je kan dit aantonen door de l'Hopital, dus zonder dat je het weet pas je l'Hopital toe :eusa_whistle:

l'Hopital houdt overigens ruwweg gesteld in dat je bij een 0/0 limiet teller en noemer mag afleiden, en dat de limiet ongewijzigd blijft, mits aan zekere randvoorwaarden is voldaan.

Dus lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) wanneer je de onbepaaldheid 0/0 tegenkomt.
"C++ : Where friends have access to your private members." Gavin Russell Baker.
Omhoog

Bericht 21-03-'10, 02:10

TD

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Goniometrische limiet

Je kan dit aantonen door de l'Hopital, dus zonder dat je het weet pas je l'Hopital toe :eusa_whistle:
Terzijde... Maar voor l'Hôpital heb je de afgeleide nodig van de sinus en om die via de definitie te vinden, kom je deze limiet ook tegen. Je dreigt dus een "cirkelredenering" te vormen, gelukkig is deze limiet ook zonder l'Hôpital aan te tonen en net daarom best te onthouden (en gebruiken) als standaardlimiet - zonder l'Hôpital.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Omhoog
Reageer

Terug naar “Huiswerk en Practica”