Toevalsprocessen

Bartjes

Beste mensen,

Ik probeer de strenge wiskundige definitie van toevalsprocessen te begrijpen, maar ik loop steeds vast. Zover ben ik gevorderd:

Een toevalsexperiment wordt gekenmerkt door:

- Een verzameling Ω van al de mogelijke outcomes of uitkomsten (resultaten) ω, ook wel de sample space of uitkomstenverzameling (resultatenruimte) genoemd.

- Een speciaal type verzameling \(\mathcal{A}\) van deelverzamelingen A van Ω. Omdat we behalve in de individuele uitkomsten van het toevalsexperiment (bijvoorbeeld het aantal ogen van een worp) ook vaak geïnteresseerd zijn in de vraag of de uitkomst een bepaalde eigenschap heeft (is het aantal ogen meer dan drie?), beschouwen we deelverzamelingen (die eventueel ook singletons kunnen zijn) van Ω als events of gebeurtenissen. Maar omdat we niet-meetbare verzamelingen willen vermijden, laten we als de verzameling van alle gebeurtenissen \(\mathcal{A}\) alleen zulke verzamelingen toe die een σ-algebra vormen. Dit is in de praktijk nauwelijks een beperking, maar bespaart ons maattheoretische moeilijkheden bij de definitie en berekening van de kans op gebeurtenissen.

- Een probability measure of waarschijnlijkheid of kans P die voor iedere gebeurtenis A in \(\mathcal{A}\) de kans P(A) daarop geeft. Wiskundig gesproken moet P een kansmaat op de σ-algebra \(\mathcal{A}\) van Ω zijn.

- Het geordende drietal (Ω, \(\mathcal{A}\), P) vormt de probability space of kansruimte van het toevalsexperiment.

Vaak is men ook geïnteresseerd in reële grootheden X die direct van de uitkomsten van toevalsexperimenten afhankelijk zijn. Hiervoor gelden onderstaande twee definities:

- Een functie f van Ω in \(\mathbb{R}\) noemen we \(\mathcal{A}\)-measurable of \(\mathcal{A}\)-meetbaar dan en slechts dan wanneer de verzameling \( \{ \omega \in \Omega \; \vert \, f(\omega) \leq x \} \) voor alle reële getallen x tot \(\mathcal{A}\) behoort.

- Een random variable of stochastische of toevalsvariabele X is een \(\mathcal{A}\)-meetbare functie van de uitkomstenverzameling Ω in de verzameling \(\mathbb{R}\) der reële getallen. De eis van \(\mathcal{A}\)-meetbaarheid dient ook hier ter voorkoming van maattheoretische problemen.

Zit ik tot zover goed?

Bartjes

Bij een gegeven kansruimte (Ω, \(\mathcal{A}\), P) verstaan we onder een stochastic (of random) process of een stochastisch of toevalsproces een collectie toevalsvariabelen X_t geïndiceerd door de elementen van een verzameling T (de "tijd"). De verzameling T is meestal de verzameling der gehele getallen (bij discrete processen) of de verzameling der reële getallen (bij tijdscontinue processen).

Vervolgens wordt bij gegeven ω de functie Y(t) = X_t(ω) een exemplaar van het toevalsproces genoemd. En hier raak ik de draad kwijt: wat stelt zo'n exemplaar voor? Die ω's zijn toch juist de mogelijke uitkomsten van de opeenvolgende toevalsexperimenten die het toevalsproces vormen? Hoe kan je bij een gegeven ω dan nog van die fraaie plaatjes krijgen die naar mijn idee juist door het random optreden van allerhande ω's zouden moeten ontstaan?

Bartjes

Ik heb in mijn honger naar kennis en inzicht nu al heel wat bronnen geraadpleegd, maar steeds komt de definitie op het zelfde neer. Ik ga daar zelf niet uitkomen: hoe meer ik er over na denk, hoe krommer mij het lijkt. De toevalsvariabele X als functie van Ω in \(\mathbb{R}\) zou immers voor alle tijdstippen t gelijk moeten zijn. Dit is slechts een manier om de random uitkomsten ω in reële getallen te vertalen. De functiewaarde X(ω) is bij een feitelijk 'draaiend' toevalsproces wel afhankelijk van de tijd t, maar dat komt enkel en alleen omdat er voor verschillende tijdstippen t volgens een zekere kansverdeling random uitkomsten ω worden voortgebracht. Voor een vast gekozen ω als argument van X valt er niets te beleven.

Het is onbestaanbaar dat al die geleerde boeken er naast zitten, dus moet ik ergens een ontzettende stommiteit begaan. Alleen ik zie niet waar. Is er hier dan niemand die mij weer op het rechte spoor kan zetten? :eusa_whistle:

317070

Vervolgens wordt bij gegeven ω de functie Y(t) = X_t(ω) een exemplaar van het toevalsproces genoemd. En hier raak ik de draad kwijt: wat stelt zo'n exemplaar voor? Die ω's zijn toch juist de mogelijke uitkomsten van de opeenvolgende toevalsexperimenten die het toevalsproces vormen? Hoe kan je bij een gegeven ω dan nog van die fraaie plaatjes krijgen die naar mijn idee juist door het random optreden van allerhande ω's zouden moeten ontstaan?

Iedere keer als je het toevalsproces opnieuw uitvoert (en bv uitmeet) krijg je gewoon een reële functie in de tijd. Dit is een exemplaar van het toevalsproces. Die ω moet je volgens mij dan ook zien als gegeven op ieder tijdstip t, niet noodzakelijk hetzelfde op alle tijdstippen t. ω is dan zelf een functie van de tijd.

De reden waarom men dan niet de notatie Xt(ω(t)) gebruikt, is omdat die laatste notatie impliceert dat Xt voor een bepaalde t kan afhangen van ω op alle waarden van t. Dit is hier niet het geval. Xt op t hangt enkel af van 1 toevalsproces, namelijk die op het tijdstip t zelf. Voor dergelijke gevallen wordt bij mij weten de notatie Xt(ω) gebruikt i.p.v. Xt(ω(t)).

Het is volgens mij dan ook gewoon een kwestie van notatieverwarring. Volgens mij staat dit dan ook ergens vermeld in je bronnen. In mijn cursus in ieder geval wel als ze overgingen van ω(t) naar ω.

Bartjes

Iedere keer als je het toevalsproces opnieuw uitvoert (en bv uitmeet) krijg je gewoon een reële functie in de tijd. Dit is een exemplaar van het toevalsproces. Die ω moet je volgens mij dan ook zien als gegeven op ieder tijdstip t, niet noodzakelijk hetzelfde op alle tijdstippen t. ω is dan zelf een functie van de tijd.

Dat begrijp ik dan goed. :eusa_whistle:

De reden waarom men dan niet de notatie Xt(ω(t)) gebruikt, is omdat die laatste notatie impliceert dat Xt voor een bepaalde t kan afhangen van ω op alle waarden van t. Dit is hier niet het geval. Xt op t hangt enkel af van 1 toevalsproces, namelijk die op het tijdstip t zelf. Voor dergelijke gevallen wordt bij mij weten de notatie Xt(ω) gebruikt i.p.v. Xt(ω(t)).

Heb ik het dan ook goed dat de functie X voor alle t gelijk is, maar dat de functiewaarde X(ω) door de tijdsafhankelijke uitkomst ω wordt bepaald?

Bartjes

De onderstaande definitie van een toevalsproces vermijdt de onduidelijkheden in de gebruikelijke notatie, en heeft het bijkomende voordeel dat ik haar ook begrijp. :eusa_whistle:

Onder het toevalsproces Z met de kansruimte (Ω, \(\mathcal{A}\), P), met de toevalsvariabele X en over de tijd T verstaan we de reële functie

Z(t,ω) = X(ω(t)) van de twee variabelen t uit T en ω uit Ω^T.

Hierin zijn de ω's geen uitkomsten maar uitkomsten-exemplaren (dus functies van T in Ω). Ze worden hier vet gedrukt om dit onderscheid te benadrukken. Doordat ook uitkomsten-exemplaren met een kans nul in principe kunnen voorkomen, bevat Ω^T precies alle mogelijke uitkomsten-exemplaren van het toevalsproces.

Het toevalsvariabele-exemplaar of kortweg het exemplaar Y behorende bij het toevalsproces Z met de kansruimte (Ω, \(\mathcal{A}\), P), met de toevalsvariabele X, over de tijd T én voor een vast gekozen ω uit Ω^T is nu de reële functie Y(t) van de tijd t uit T gedefinieerd door:

Y(t) = Z(t,ω). Oftewel: Y(t) = X(ω(t)).

Vragen:

- Komt dit op het zelfde neer als de gebruikelijke definitie?

- Zijn er leerboeken waarin een dergelijke definitie gebruikt wordt (en die dus ook voor mij leesbaar zijn)?

Bartjes

Hier staat een uitleg die ik begrijp:

http://books.google.nl/books?id=ckklgif1M6...p;q=&f=true

Zie het Hoofdstuk 'Random Processes'.

Mijn onbegrip kwam daaruit voort dat ik aannam dat er voor een vast gekozen uitkomst ω ook geen in de tijd t variërend exemplaar

Y(t) van het toevalsproces meer kon bestaan. Ik dacht dat het de bedoeling was dat er enkel volgens een vaste (in X vervatte) regel een vertaling van de optredende ω's in de bijbehorende reële getallen Y(t) = X(ω(t)) zou plaatsvinden. Waarbij ω(t) staat voor de op tijdstip t optredende ω. De schommelingen in Y(t) zouden dan ook een direct gevolg moeten zijn van dit achtereenvolgens optreden van verschillende ω's.

Maar dat is hier kennelijk niet de bedoeling, want één toevallig getrokken ω levert al direct voor alle t uit T de functiewaarden Y(t) van het exemplaar Y. Ik hoop dat ik het nu goed begrijp? :eusa_whistle:

317070

Maar dat is hier kennelijk niet de bedoeling, want één toevallig getrokken ω levert al direct voor alle t uit T de functiewaarden Y(t) van het exemplaar Y. Ik hoop dat ik het nu goed begrijp? :eusa_whistle:

Om eerlijk te zijn snap ik je bron van verwarring nog steeds niet echt goed. Maar ik heb het nog even nagekeken, en ik heb het inderdaad zo gezien. Moest het niet één toevallig getrokken ω zijn, maar eerder ω(t) (met dus op ieder tijdstip een nieuwe ω), dan zou autocorrelatie en kruiscorrelatie en dergelijke volgens mij niet mogelijk zijn.

Zo kun je bijvoorbeeld een functie X(t,ω) nemen die ofwel overal 1 is, ofwel overal 0. Als je op ieder tijdstip een nieuwe ω zou kiezen, zou zoiets onmogelijk zijn.

Anderzijds impliceert de notatie ω(t) natuurlijk niet dat er op ieder tijdstip een nieuwe ω moet zijn. Als je (zoals de andere boeken vermoedelijk doen) ω(t) moet trekken uit een verzameling met maar 2 elementen: {0(t);1(t)}, dan is dit nog steeds goed mogelijk. Als je daarentegen ω(t) bij iedere t moet trekken uit {0;1}, dan zie ik niet hoe je dat nog kunt verwezelijken. Ik vermoed dus ook dat geen enkel boek dit laatste bedoelt.

Was dat je probleem?

Bartjes

Om eerlijk te zijn snap ik je bron van verwarring nog steeds niet echt goed. Maar ik heb het nog even nagekeken, en ik heb het inderdaad zo gezien. Moest het niet één toevallig getrokken ω zijn, maar eerder ω(t) (met dus op ieder tijdstip een nieuwe ω), dan zou autocorrelatie en kruiscorrelatie en dergelijke volgens mij niet mogelijk zijn.

Ik stelde mij een toevalsproces voor als een voor ieder tijdstip t uit T uitgevoerd toevalsexperiment. Dat leidde mij direct tot mijn interpretatie dat ω bij een toevalsproces als een functie ω: T → Ω zou moeten worden opgevat.

Anderzijds impliceert de notatie ω(t) natuurlijk niet dat er op ieder tijdstip een nieuwe ω moet zijn. Als je (zoals de andere boeken vermoedelijk doen) ω(t) moet trekken uit een verzameling met maar 2 elementen: {0(t);1(t)}, dan is dit nog steeds goed mogelijk. Als je daarentegen ω(t) bij iedere t moet trekken uit {0;1}, dan zie ik niet hoe je dat nog kunt verwezelijken. Ik vermoed dus ook dat geen enkel boek dit laatste bedoelt.

Een dergelijk eenvoudig geval met slechts twee mogelijke uitkomsten 0(t) en 1(t) zou wat mij betreft als een toevalsexperiment kunnen worden beschouwd. Het heeft niets van het karakteristieke van toevalsprocessen. Ik stelde het mij - als gezegd - zo voor dat een toevalsproces een voor alle t uit T herhaald toevalsexperiment is. (Zoals bijvoorbeeld de elektrische ruis over een weerstand.) Door de kansverdeling voor de trekking op tijdstip t afhankelijk te stellen van de resultaten van eerdere trekkingen (en eventuele nog andere gegevens), zou je een evoluerend toevalsexperiment krijgen - oftewel een toevalsproces. Dat lijkt mij ook de meest voor de hand liggende benadering. Maar kennelijk is dit niet de manier waarop zulke zaken gewoonlijk beschouwd worden.

Ik had mij bij de wiskundige theorie van toevalsexperimenten iets fraai-ers voorgesteld. De maattheoretische benadering van toevalsprocessen maakt op mij een zeer gekunstelde indruk. De eigenaardigheden van het reële getallensysteem en de meetbaarheid of onmeetbaarheid van verzamelingen zouden naar mijn gevoel in een wiskundige theorie van stochastische verschijnselen niet zo'n grote rol mogen spelen. Zulke zaken lijken met de aard van die verschijnselen niets te maken te hebben. Of zie ik dat verkeerd en is er via complexiteit en fractale vormen wel een connectie? Eerder schreef je:

Naar mijn bescheiden mening is deze stof 'overkill' voor hetgeen je hier nodig hebt...

Daar begint het steeds meer op te lijken. Aan de andere kant geniet de maattheoretische benadering van toevalsprocessen onder deskundigen geweldig veel aanzien. Dit zou wel heel vreemd zijn, als er een wezenlijk eenvoudiger en tevens wiskundig deugdelijk alternatief voorhanden was. :eusa_whistle:

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Toevalsprocessen

Toevalsprocessen

Re: Toevalsprocessen

Re: Toevalsprocessen

Re: Toevalsprocessen

Re: Toevalsprocessen

Re: Toevalsprocessen

Re: Toevalsprocessen

Re: Toevalsprocessen

Re: Toevalsprocessen