Springen naar inhoud

Oppervlakte berekenen met integraal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

mr. James

    mr. James


  • >100 berichten
  • 103 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 maart 2010 - 18:51

Hallo

Ik heb wat problemen met volgende oefening:

Stel de integraal op voor het berekenen van de oppervlakte van:
het gebied binnen de kromme:

x = 3 + cos( θ )
y = 4 sin( θ )

en bereken.

Nu vraag ik me af hoe ik deze opgave moet interpreteren. Deze functie is gegeven als parameterkromme. Maar de functie voor x en y zijn dan eigenlijk gegeven in poolcoördinaten.
Klopt het dat deze figuur een ellips zal voorstellen, met middelpunt: x = 3. Met Ymin = -4 en Ymax = 4 ?

Ik bereken dan de oppervlakte van 1 kwadrant van de ellips als volgt:

1/2 * Integraal( 0 naar pi/2) van (4 sinθ )² dθ

en dit alles *4 om de volledige oppervlakte te berekenen

dus bekom ik: 32 * integraal( 0 naar pi/2 )van sin² θ dθ


maar bij de oplossingen staat dat het moet zijn:
16 * ....


Mag ik dit wel oplossen met de formule voor functie in poolcoordinaten: 1/2 integraal van r².d θ
en ik werk hier enkel met de y functie, maar ik snap niet goed hoe anders...

Alvast bedankt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 maart 2010 - 19:47

LaTeX

y heb je geven, dx kan je vast wel vinden als x gegeven is.

Vul tensotte de gepaste grenzen in (in theta), en je bent er.

Lukt dat?
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#3

mr. James

    mr. James


  • >100 berichten
  • 103 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 maart 2010 - 20:13

LaTeX



y heb je geven, dx kan je vast wel vinden als x gegeven is.

Vul tensotte de gepaste grenzen in (in theta), en je bent er.

Lukt dat?


Dan bekom je wel een - teken van de afgeleide van x..
dan bekom ik:
-16 * integraal(0 tot pi/2) sin² θ dθ

Mag je die - misschien weglaten omdat dit voor de "georiënteerde" oppervlakte is?

#4

In physics I trust

    In physics I trust


  • >5k berichten
  • 7384 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 22 maart 2010 - 20:32

Het kwartje in het eerste kwadrant is positief, en je hebt 4 maal die oppervlakte, dus inderdaad, de oppervlakte is sowieso positief.
"C++ : Where friends have access to your private members." — Gavin Russell Baker.

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24081 berichten
  • VIP

Geplaatst op 22 maart 2010 - 20:53

De formule zo toepassen levert de "georiënteerde oppervlakte"; absolute waarde nemen om de gewone, positieve oppervlakte te vinden.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

mr. James

    mr. James


  • >100 berichten
  • 103 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 22 maart 2010 - 20:55

Ok, bedankt

Ik denk dat ik het even te ingewikkeld wou maken.

#7

RichardR

    RichardR


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 maart 2011 - 16:45

Ik heb toch nog een vraag over het berekenen van oppervlakten bij parameterkrommen.
Zie http://www.wetenscha...howtopic=125837

In het voorbeeld wordt aangegeven dat y gegeven is en dat als je x kent, je dx wel moet kunnen berekenen, zie bericht 3.

Over het eerste deel van deze bewering, dat y gegeven is: dit is slechts ten dele waar. Het probleem is dat y gegeven is als functie van Θ , niet van als functie van x! Het lijkt erop dat hieraan gemakkelijk voorbij wordt gegaan, maar dit is precies waarom het integreren van parameterkrommen nu juist zo lastig is. Meestal zijn er geen problemen met oppervlakteberekeningen als y als functie van x bekend is (als je ten minste een primitieve functie kunt vinden). In zijn algemeenheid is het bij parameterkrommen meestal niet mogelijk om y rechtstreeks als functie van x te schrijven en dus de parameter te elimineren. Je zou dan eerst van x naar Θ
terugmoeten, en dan van Θ naar y. Maar wat als er geen eenvoudige inverse van x(Θ) bestaat?

Het net doen alsof integraal(y) dx
betekent dat je voor y kunt invullen: y(Θ) in plaats van y(x) ziet er naar mijn bescheiden mening uit als een fout. Helaas weet ik dan niet hoe het wel moet. Op verschillende forums/sites ben ik ook verschillende formules tegengekomen voor de oppervlakte van parameterkrommen:

integraal(x'(t) * y(t)) dt (Formule 1)

maar ook:

1/2 * integraal(xy' - yx') dt (Formule 2)

en deze zijn niet equivalent. Dus welke formule klopt nu? Een bewijs hiervan zou ook leuk zijn, want ik neem niet graag dingen klakkeloos aan, en belangrijker: wiskunde gaat om begrijpen. Ik wil graag weten wat ik doe en waarom het zo is en zo moet zijn (en niet anders). Domweg formules invullen kan ook zonder enige intelligentie, computers zijn hiervan een bewijs.

In beide formules stoort het mij dat de rol van x en y niet symmetrisch is. Dit voelt tegenintuitief aan. Het zou toch raar zijn dat als ik besluit om mijn x(Θ) voortaan y(Θ) te noemen en vice versa, dat er dan een andere oppervlakte uitkomt???

Formule 1 voldoet helemaal niet aan de symmetrie van x en y, formule 2 levert een onverklaarbaar verschil in teken op, maar lijkt afgezien hiervan meer te voldoen aan de te verwachten symmetrische rol van x en y. Deze formule lijkt dus betrouwbaarder.

Alvast bedankt

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9918 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 09 maart 2011 - 17:04

Misschien is een nieuwe topic wel nuttig.
Geef een vb.

#9

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4177 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 09 maart 2011 - 19:33

Als x = f(t) en y = g(t) dan is de oppervlakte onder een parameterkromme:

LaTeX voor LaTeX


Partieel integreren geeft:

LaTeX

Merk op dat de stokterm nul is omdat de kromme gesloten is.


Hieruit volgt dus dat voor LaTeX :

LaTeX
Quitters never win and winners never quit.

#10

RichardR

    RichardR


  • 0 - 25 berichten
  • 2 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 maart 2011 - 14:36

Aan Safe:

een nieuw topic was niet nodig want het ging echt over hetzelfde: integreren/oppervlakte berekenen bij parameterkrommen.

Een voorbeeld was ook niet nodig, want er was al een voorbeeld genoemd. Zie bericht 1.

Toch bedankt voor je reaktie.

Aan moderator dirkwb:

U schijnt uitstekend begrepen te hebben wat ik bedoel, ondanks dat ik geen nette integraaltekens heb gebruikt. Ik ben erg blij met Uw uitleg, ook al weet ik niet precies wat U met “stokterm” bedoelt (kan ik opzoeken). Ik ga de afleiding thuis eens bestuderen en deze voor een aantal zelf te bedenken “gevallen” gewoon eens proberen, totdat de formule net zo vertrouwd is als de abc-formule.

Overigens, mijn interesse is tweeledig. Enerzijns vind ik wiskunde gewoon heel leuk (echt waar!), anderszijds heeft dit ook een praktische toepassing. Ik werk aan een softwarepakket met cubic beziers. Ik probeer deze beziers te benaderen met één of meer 2e graads beziers, omdat hiermee sneller gerekend kan worden. Hierbij moet er een compromis gevonden worden tussen het aantal 2e graad beziers (liefst zo weinig mogelijk) en de nauwkeurigheid van de benadering (liefst zo hoog mogelijk). Natuurlijk zijn deze eisen strijdig met elkaar.

Zomaar recursief opdelen bij t=0.5 totdat het resultaat “voldoende nauwkeurig” is, vind ik nogal een ad hoc aanpak. Liever heb ik een goede maat voor hoe nauwkeurig het resultaat is.

Gegeven een 3e graads bezier op interval 0<= t <=1. Neem nu een punt t=t1 op de 3e graads bezier. Stel, ik benader de 3e graads bezier met twee 2e graads beziers. De eerste loopt van t=0 tot t=t1, de tweede van t=t1 tot t=1 (t waarden t.o.v. oorspronkelijke 3e graads bezier).

Nu is de oppervlakte tussen de twee 2e graads beziers en de 3e graads bezier een maat voor de nauwkeurigheid van de benadering. Hoe kleiner deze oppervlakte, hoe beter. Door deze oppervlakte te differentiëren kan ik de extreme waarden bepalen en ik ga natuurlijk op zoek naar een minimum. De zo gevonden waarde van t1 is waar ik naar op zoek ben. Dan hoef ik niet meer ad hoc op te delen bij t=0.5, maar kan dit meer gefundeerd doen bij t=t1. Zo krijg ik een hoge nauwkeurigheid en toch een klein aantal opdelingen.

PS: ik hoef niet eens te primitiveren, aangezien ik geinteresseerd ben in de afgeleide van de oppervlakte. :-)

Nogmaals: ik ben heel blij met Uw afleiding en ik denk dat ik er nu zelf verder wel uitkom. Ontzettend veel dank!





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Vacatures