Springen naar inhoud

Abstracte reŽle vectorruimten


  • Log in om te kunnen reageren

#1

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 23 maart 2010 - 18:34

Hallo,

Als inleiding van een cursus vectorruimten heb ik de voorwaarden gezien waaraan moet voldaan worden om een bepaald wiskundig object(bvb continue functie of veelterm) als een vectorruimte te mogen beschouwen.

In het totaal zijn er 1o voorwaarden (axioma's) voor V= R^n:

1-5 V voorzien van de optelling is commutatieve of abelse groep
6 de vermenigvuldiging van een vector van V met een scalair is de afbeelding van R x V in V
7-10 zijn de verbindingswetten voor de optelling en vermenigvuldiging met een scalair

Hierna hebben we een voorbeeld gezien:

1) {alle reŽle veeltermen in x met graad kleiner dan of gelijk aan 2} ofwel ax^2 + bx + c met a,b,c element van R

Is aan de de voorwaarden voldaan? Ja, de optelling van twee dergelijke veeltermen levert opnieuw een veellterm met graad hoogstens twee. De vermenigvuldiging met een scalair levert ook opnieuw een veelterm uit de verzameling.

Dekken deze twee zinnen de lading voor alle 10 de voorwaarden ? Welke uitleg hoort hier nog bij?

Vervolgens hebben we aangetoond dat een (n x 1)-(kolom)matrix en een (1 x n)-(rij)matrix ook vectorruimten vormen, we spreken daarom van kolom en rij-vectoren van het type n.

In de praktijk gebruikt men zowel (x1,...,xn) als de kolomvector of de rijvector voor ťťnzelfde reŽle vector x uit R^n. Dit mag omdat R^n, R^(n x1) en R^(1 x n) vectorruimten zijn waartussen bijecties bestaan die de bewerkingen behouden. Formeel wiskundig spreken we van isomorfe structuren die als het ware kunnen geÔdentificeerd worden via een isomorfisme.

Van deze laatste alinea (vanaf: in de praktijk) snap ik bitter weining. Wat valt hieraan te snappen? Wat moet ik hieruit meenemen om de rest van mijn cursus te bergijpen ?

Alvast bedankt aan de posters van het wetenschapsforum!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 maart 2010 - 03:48

1) {alle reŽle veeltermen in x met graad kleiner dan of gelijk aan 2} ofwel ax^2 + bx + c met a,b,c element van R

Is aan de de voorwaarden voldaan? Ja, de optelling van twee dergelijke veeltermen levert opnieuw een veellterm met graad hoogstens twee. De vermenigvuldiging met een scalair levert ook opnieuw een veelterm uit de verzameling.

Dekken deze twee zinnen de lading voor alle 10 de voorwaarden ? Welke uitleg hoort hier nog bij?


De lading wordt inderdaad gedekt, de twee zinnen tonen aan dat de lineaire combinatie van twee willekeurige elementen uit de verzameling {alle reŽle veeltermen in x met graad kleiner dan of gelijk aan 2}, altijd een element van diezelfde verzameling zal opleveren.

Het oplossen van mijn tweede vraag lijkt me een stuk moeilijker.

Veranderd door motionpictures88, 24 maart 2010 - 03:51


#3

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 24 maart 2010 - 09:06

In de praktijk gebruikt men zowel (x1,...,xn) als de kolomvector of de rijvector voor ťťnzelfde reŽle vector x uit R^n. Dit mag omdat R^n, R^(n x1) en R^(1 x n) vectorruimten zijn waartussen bijecties bestaan die de bewerkingen behouden. Formeel wiskundig spreken we van isomorfe structuren die als het ware kunnen geÔdentificeerd worden via een isomorfisme.


Vergelijk het met de verschillende manieren waarop de reŽle getallen formeel gedefinieerd kunnen worden. Zodra bewezen is dat al die manieren tot isomorfe structuren leiden, kan je het - in de praktijk - verder gewoon hebben over DE reŽle getallen. Dit wordt bedoeld met het identificeren van deze isomorfe structuren.

#4

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 24 maart 2010 - 19:35

Vergelijk het met de verschillende manieren waarop de reŽle getallen formeel gedefinieerd kunnen worden. Zodra bewezen is dat al die manieren tot isomorfe structuren leiden, kan je het - in de praktijk - verder gewoon hebben over DE reŽle getallen. Dit wordt bedoeld met het identificeren van deze isomorfe structuren.


Bedankt voor de respons!

Als u zegt "bewijzen dat al die manieren tot isomorfe structuren leiden" is dat hetzelfde als aantonen dat aan de tien voorwaarden voldaan is?

Verder wordt ook nog een voorbeeld van isomorfisme gegeven:

Bijvoorbeeld de bijectie van R^(1 x n) op R^n met f, dan geldt er:
(i) f([x1 ... xn] + [y1 ... yn]) = f([x1 ... xn]) + f([y1 ... yn]) voor alle koppels van R^(1 x n)

(ii) f(a[x1 ... xn])= af([x1 ... xn]) voor elk eleent van R^(1 x n) en elk reŽl getal.


Wat toont (i) aan door die rijvector uit de "functiehaakjes" halen?
Wat toont (ii) aan door die scalair a uit de "functiehaakjes" halen?

Veranderd door motionpictures88, 24 maart 2010 - 19:37


#5

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 24 maart 2010 - 23:30

Als u zegt "bewijzen dat al die manieren tot isomorfe structuren leiden" is dat hetzelfde als aantonen dat aan de tien voorwaarden voldaan is?


Dat twee structuren vectorruimten zijn, bewijst nog niet dat ze ook isomorf zijn.

#6

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2010 - 00:31

Dat twee structuren vectorruimten zijn, bewijst nog niet dat ze ook isomorf zijn.


Dus om twee vectorruimten te hebben die ook isomorf zijn, moet je de twee vectorruimten met een bijectieve functie op elkaar kunnen afbeelden (want dan worden de bewerkingen behouden)?

Toegepast op mijn voorbeeld:

doordat er een bijectieve functie bestaat die R^(1 x n) afbeeld op R^n
=> (i), (ii)

(i) en (ii) zeggen (samengevat) dat bij een lineaire combinatie van de twee vectorruimten R^(1 x n) en R^n (die eveneens isomorf zijn), de elementen uit die vectorruimten nog steeds in dezelfde verzameling zitten.

Begrijp ik mijn voorbeeld zo juist?


Bedankt voor alle feedback!

Veranderd door motionpictures88, 25 maart 2010 - 00:43


#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 25 maart 2010 - 10:34

Dat twee structuren vectorruimten zijn, bewijst nog niet dat ze ook isomorf zijn.

Dus om twee vectorruimten te hebben die ook isomorf zijn, moet je de twee vectorruimten met een bijectieve functie op elkaar kunnen afbeelden (want dan worden de bewerkingen behouden)?

Twee (eindigdimensionale) vectorruimten zijn isomorf als ze dezelfde dimensie hebben; dat is misschien een meer inzichtelijke eigenschap om in te schatten of twee vectorruimten al dan niet isomorf zijn.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

*_gast_Bartjes_*

  • Gast

Geplaatst op 25 maart 2010 - 10:35

Dus om twee vectorruimten te hebben die ook isomorf zijn, moet je de twee vectorruimten met een bijectieve functie op elkaar kunnen afbeelden (want dan worden de bewerkingen behouden)?


Niet alleen moeten de elementen van de twee vectorruimten ťťn-op-ťťn aan elkaar gekoppeld kunnen worden (de bijectie), ze moeten zich ook overeenkomstig gedragen (hier (i) en (ii)). Dat zijn verschillende zaken. Alders had men bij de definitie van een isomorfisme wel met de eis van het bestaan van een bijectie kunnen volstaan.

#9

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 25 maart 2010 - 10:46

Niet alleen moeten de elementen van de twee vectorruimten ťťn-op-ťťn aan elkaar gekoppeld kunnen worden (de bijectie), ze moeten zich ook overeenkomstig gedragen (hier (i) en (ii)). Dat zijn verschillende zaken. Alders had men bij de definitie van een isomorfisme wel met de eis van het bestaan van een bijectie kunnen volstaan.


Dit was precies waarnaar ik zocht!

Allebei bedankt voor de verhelderende antwoorden!

Veranderd door motionpictures88, 25 maart 2010 - 10:49






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures