Als mij wordt gevraagd de polynoom
X5+2X3+X2+X+1 te ontbinden over Q, hoe moet ik dit dan aanpakken.
Ik weet dat je een nulpunt weg kunt delen, maar het nulpunt is in dit geval (voor mij) niet vanzelfsprekend (zoals 1 of -1 vaak is).
Een tip was Gauss' Lemma, die stelt dat een irreducibele factor in Z ook irreducibel in Q is.
Hoe pak ik dit aan?
Laatste berichten
-
11:59
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 3
-
11:32
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 6
-
11:31
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 14
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:48
Schroefdraad berekening 4
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Weerfrustratie 5
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
-
20 apr
Stank rotte eieren uit de warmwaterboiler 11
-
20 apr
Nut warmtepomp 18
-
20 apr
Airco bevriezings kans berekenen. 17
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Ontbinden van een polynoom
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 78
Re: Ontbinden van een polynoom
Ok toevallig bedacht ik dat i in de complexe getallen een nulpunt vormt en dus kon ik X2 +1 eruit factorizeren tot::Heidegger schreef:Als mij wordt gevraagd de polynoom
X5+2X3+X2+X+1 te ontbinden over Q, hoe moet ik dit dan aanpakken.
Ik weet dat je een nulpunt weg kunt delen, maar het nulpunt is in dit geval (voor mij) niet vanzelfsprekend (zoals 1 of -1 vaak is).
Een tip was Gauss' Lemma, die stelt dat een irreducibele factor in Z ook irreducibel in Q is.
Hoe pak ik dit aan?
(X2 +1)(X3 +X+1)
Maar wat is de algemene aanpak?
Re: Ontbinden van een polynoom
Ontbind
De volgende eigenschap kun je goed gebruiken:
Als de ggd van de coëfficienten 1 is, dan geldt dat ook voor elk van de factoren bij een eventuele ontbinding.
Waarbij we nog aantekenen dat als hier een ontbinding in
1 en -1 zijn geen nulpunten van
Uitwerken en gelijkstellen geeft
\(A = x^5+2x^3+x^2+x+1\)
in \(\qq [x]\)
.De volgende eigenschap kun je goed gebruiken:
\(A\)
is een polynoom in \(\zz [x]\)
.Als de ggd van de coëfficienten 1 is, dan geldt dat ook voor elk van de factoren bij een eventuele ontbinding.
Waarbij we nog aantekenen dat als hier een ontbinding in
\(Q [x]\)
mogelijk is, dan ook in \(\zz [x] \)
. 1 en -1 zijn geen nulpunten van
\(A=0\)
, dus als het \(A\)
te ontbinden is, dan kan dat alleen in de volgende vorm\(A = (x^2+a_1 x + a_0)(x^3+b_2x^2+b_1 x + b_0)\)
(de coëfficienten zijn gehele getallen).Uitwerken en gelijkstellen geeft
\(a_0 b_0 = 1\)
, dus \(a_0 = b_0 = 1\)
of \(a_0 = b_0 = -1\)
enz.-
- Berichten: 24.578
Re: Ontbinden van een polynoom
Geen algemene aanpak, maar soms door handig groeperen:
\(\begin{array}{l} {x^5} + 2{x^3} + {x^2} + x + 1 \\ = x\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) + {x^2} + 1 \\ = x{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + {x^2} + 1 \\ = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x\left( {{x^2} + 1} \right) + 1} \right) \\ \end{array}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Ontbinden van een polynoom
Voor een ontbinding van
\(A = x^6+2x^5+3x^3-3x^2+3x-2\)
kun je nog andere laatjes opentrekken.