Ontbinden van een polynoom
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
- Berichten: 78
Ontbinden van een polynoom
Als mij wordt gevraagd de polynoom
X5+2X3+X2+X+1 te ontbinden over Q, hoe moet ik dit dan aanpakken.
Ik weet dat je een nulpunt weg kunt delen, maar het nulpunt is in dit geval (voor mij) niet vanzelfsprekend (zoals 1 of -1 vaak is).
Een tip was Gauss' Lemma, die stelt dat een irreducibele factor in Z ook irreducibel in Q is.
Hoe pak ik dit aan?
X5+2X3+X2+X+1 te ontbinden over Q, hoe moet ik dit dan aanpakken.
Ik weet dat je een nulpunt weg kunt delen, maar het nulpunt is in dit geval (voor mij) niet vanzelfsprekend (zoals 1 of -1 vaak is).
Een tip was Gauss' Lemma, die stelt dat een irreducibele factor in Z ook irreducibel in Q is.
Hoe pak ik dit aan?
- Berichten: 78
Re: Ontbinden van een polynoom
Ok toevallig bedacht ik dat i in de complexe getallen een nulpunt vormt en dus kon ik X2 +1 eruit factorizeren tot::Heidegger schreef:Als mij wordt gevraagd de polynoom
X5+2X3+X2+X+1 te ontbinden over Q, hoe moet ik dit dan aanpakken.
Ik weet dat je een nulpunt weg kunt delen, maar het nulpunt is in dit geval (voor mij) niet vanzelfsprekend (zoals 1 of -1 vaak is).
Een tip was Gauss' Lemma, die stelt dat een irreducibele factor in Z ook irreducibel in Q is.
Hoe pak ik dit aan?
(X2 +1)(X3 +X+1)
Maar wat is de algemene aanpak?
Re: Ontbinden van een polynoom
Ontbind
De volgende eigenschap kun je goed gebruiken:
Als de ggd van de coëfficienten 1 is, dan geldt dat ook voor elk van de factoren bij een eventuele ontbinding.
Waarbij we nog aantekenen dat als hier een ontbinding in
1 en -1 zijn geen nulpunten van
Uitwerken en gelijkstellen geeft
\(A = x^5+2x^3+x^2+x+1\)
in \(\qq [x]\)
.De volgende eigenschap kun je goed gebruiken:
\(A\)
is een polynoom in \(\zz [x]\)
.Als de ggd van de coëfficienten 1 is, dan geldt dat ook voor elk van de factoren bij een eventuele ontbinding.
Waarbij we nog aantekenen dat als hier een ontbinding in
\(Q [x]\)
mogelijk is, dan ook in \(\zz [x] \)
. 1 en -1 zijn geen nulpunten van
\(A=0\)
, dus als het \(A\)
te ontbinden is, dan kan dat alleen in de volgende vorm\(A = (x^2+a_1 x + a_0)(x^3+b_2x^2+b_1 x + b_0)\)
(de coëfficienten zijn gehele getallen).Uitwerken en gelijkstellen geeft
\(a_0 b_0 = 1\)
, dus \(a_0 = b_0 = 1\)
of \(a_0 = b_0 = -1\)
enz.- Berichten: 24.578
Re: Ontbinden van een polynoom
Geen algemene aanpak, maar soms door handig groeperen:
\(\begin{array}{l} {x^5} + 2{x^3} + {x^2} + x + 1 \\ = x\left( {{x^4} + 2{x^2} + 1} \right) + {x^2} + 1 \\ = x{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} + {x^2} + 1 \\ = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {x\left( {{x^2} + 1} \right) + 1} \right) \\ \end{array}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: Ontbinden van een polynoom
Voor een ontbinding van
\(A = x^6+2x^5+3x^3-3x^2+3x-2\)
kun je nog andere laatjes opentrekken.