Springen naar inhoud

Supremum & infimum


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2010 - 11:53

Hallo, kan iemand me helpen met het supremum en infimum van deze verzameling te bepalen.
LaTeX (het moet de strikt natuurlijke getallen zijn).
0 kan al zeker geen oplossing zijn want 0 LaTeX N0
Dan dacht ik eens om te kijken naar 1 en -1.
Maar als ik 1 invul dan krijg ik dat de LaTeX
Maar nu weet ik niet of -1 wel mag, want -1 LaTeX N0?

Of moet ik het zo niet bezien? Want in de oplossingen staat dat 1 wel het supremum is.
En er staat ook dat -1 het infimum is, maar -1LaTeX N0?

Veranderd door Siron, 05 april 2010 - 11:54


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 april 2010 - 11:56

Die -1 zit inderdaad niet in :eusa_whistle:, maar dat hoeft toch ook niet? De verzameling is niet ](*,), maar {cos(pi/n) | ...}.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2010 - 12:55

Die -1 zit inderdaad niet in :eusa_whistle:, maar dat hoeft toch ook niet? De verzameling is niet ;), maar {cos(pi/n) | ...}.


Ik dacht er juist aan dat de cosinus ligt in het interval [-1,1]. Maar dan zou ik dus toch waarden voor n moeten vinden zodat deze -1 als infimum en 1 als supremum geven. Maar toch begrijp ik het nog niet volledig.

Ik moet dus een waarde n zien te vinden waarvoor de verzameling niet kleiner (supremum) of groter (infimum) kan zijn dan -1 en 1. Deze waarde voor n LaTeX ;)0.

De cos zal -1 zijn als: LaTeX . Dit begrijp ik want 1 LaTeX ](*,)0, maar is 1 dan niet het infimum van de verzameling?

Maar wanneer zal de cos dan 1 zijn? Want LaTeX
Dus of ik nu 1 invul. En ik mag -1 niet nemen want -1 LaTeX ](*,)0?

0 mag ik ook niet nemen want dat is uitgesloten. Welke waarden voor n zijn er dan nog die het infimum en sup kunnen bepalen?

Veranderd door Siron, 05 april 2010 - 12:57


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 april 2010 - 13:06

Volgens mij snap je toch niet helemaal naar welke verzameling je moet kijken. Neem bijvoorbeeld de verzameling:

LaTeX

Ik geef een deel van de verzameling door opsomming om een idee te krijgen:

LaTeX

Het infimum is -1 en het supremum is 0. Het is niet omdat n een natuurlijk getal is (en dus positief), dat de elementen van deze verzameling ook positief zijn... Integendeel: ze zijn allemaal negatief!

Kijk nu naar een variant:

LaTeX

Wat is hiervan het infimum en het supremum? Het kan nuttig zijn weer een aantal elementen te bepalen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2010 - 13:25

Volgens mij snap je toch niet helemaal naar welke verzameling je moet kijken. Neem bijvoorbeeld de verzameling:

LaTeX



Ik geef een deel van de verzameling door opsomming om een idee te krijgen:

LaTeX

Het infimum is -1 en het supremum is 0. Het is niet omdat n een natuurlijk getal is (en dus positief), dat de elementen van deze verzameling ook positief zijn... Integendeel: ze zijn allemaal negatief!

Kijk nu naar een variant:

LaTeX

Wat is hiervan het infimum en het supremum? Het kan nuttig zijn weer een aantal elementen te bepalen.


LaTeX
LaTeX
Dus -1 lijkt mij het infimum want dat blijft telkens de kleinste waarde die er is.
Volgens mij is het supremum hier 1.

Veranderd door Siron, 05 april 2010 - 13:27


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 april 2010 - 13:30

Ok, het infimum begrijp ik, maar waarom is het supremum 0, er moet dan toch een n-waarde zijn die 0 geeft of niet?

Dan begrijp je volgens mij het (fundamenteel!) onderscheid niet tussen "maximum" (of "minimum") en "supremum" (of "infimum"). Een maximum moet een element zijn van de verzameling, een supremum niet. Een supremum is de kleinste bovengrens - dat heb je wellicht toch gezien...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2010 - 13:31

Dan begrijp je volgens mij het (fundamenteel!) onderscheid niet tussen "maximum" (of "minimum") en "supremum" (of "infimum"). Een maximum moet een element zijn van de verzameling, een supremum niet. Een supremum is de kleinste bovengrens - dat heb je wellicht toch gezien...


Ik heb mijn quote iets te laat aangepast, ik heb nog eens gekeken naar je posts en in mijn boek en ik begrijp het nu wel :eusa_whistle:. Volgens mij is het inf =-1 en sup=1 (van verzameling 2), kan dat? Ik was inderdaad vergeten dat het sup LaTeX V kan zijn.

Veranderd door Siron, 05 april 2010 - 13:32


#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 april 2010 - 13:35

Als het supremum 1 is, dan moet 1 een bovengrens zijn (inderdaad, geen enkel element is groter dan 1) en bovendien moet dit de kleinste bovengrens zijn. Is dat zo? Volgens mij is, bijvoorbeeld, 9/10 ook een bovengrens.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2010 - 14:04

Als het supremum 1 is, dan moet 1 een bovengrens zijn (inderdaad, geen enkel element is groter dan 1) en bovendien moet dit de kleinste bovengrens zijn. Is dat zo? Volgens mij is, bijvoorbeeld, 9/10 ook een bovengrens.


Oei, ik denk dat ik me verward heb, ik heb de gootste bovengrens bepaald XD Dus dan is het supremum=0 volgens mij.
Klopt dit?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 april 2010 - 14:07

Er is geen grootste bovengrens... Over welke verzameling heb je het nu? Indien nog steeds de tweede, dan is 0 geen bovengrens hoor want 1/2 > 0 en 1/2 zit er toch in (element bij n=2).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2010 - 14:18

Ik heb het over deze oefening:
LaTeX
Ik heb dus een aantal oplossingen bepaalt (n=1,n=2,n=3,n=4,...)
LaTeX

Ik weet alleen dit:
Als n=oneven :eusa_whistle: negatieve waarden
Als n=even ](*,) positieve waarden

Ik weet niet of je wel een kleinste of grootste kan bepalen?

Veranderd door Siron, 05 april 2010 - 14:26


#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 april 2010 - 14:28

Het is duidelijk dat als er een grootste element is, dat het dan bij de positieve elementen zal zitten; hoe zien deze positieve elementen eruit? Je hebt er al twee, het gaat zo verder: 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, ...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2010 - 14:30

Het is duidelijk dat het grootste element bij de positieve elementen zal zitten, hoe zien deze positieve elementen eruit? Je hebt er al twee, het gaat zo verder: 1/2, 1/4, 1/6, 1/8, ...

Dan worden ze toch als maar kleiner en kleiner? Dus ik denk dat 1/2 het supremum is.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 april 2010 - 14:32

Inderdaad: in dit geval heeft de verzameling een maximum, dat is dan sowieso gelijk aan het infimum. Dus supremum 1/2 en infimum -1. Voor m'n eerste verzameling was het infimum ook -1, maar het supremum 0 - begrijp je waarom?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Siron

    Siron


  • >1k berichten
  • 1069 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 april 2010 - 14:34

LaTeX

Ik geef een deel van de verzameling door opsomming om een idee te krijgen:

LaTeX

Ja, voor deze begrijp ik het, want -1=Min van de verzameling. En er zijn vele bovengrenzen maar 0 is de kleinste.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures