Ik vroeg me af hoe je een integraal van een vectorieel product uitwerkt als één van de vectoren niet afhankelijk is van hetgeen waarnaar je integreert. Hier vond ik dat
\(\int{\vec a \times \vec b(t) dt} = \vec a \times \int{\vec b(t) dt}\)
, als ik dat goed begrepen heb tenminste. Nu stond er daar geen bewijs bij, terwijl ik wel benieuwd ben naar het bewijs. Ik dacht er daarom zelf eens aan te proberen, maar ik ben daar niet zo goed in en liep al vrij snel vast. Zou iemand me eventjes verder kunnen helpen aub?De vectoren waarmee ik begin zijn:
\(a = (a_x,a_y,a_z)\)
\(b = (b_x,b_y,b_z)\)
Definitie vectorieel product:\(\vec a \times \vec b = (a_y.b_z-b_y.a_z)\vec e_x + (-a_x.b_z+b_x.a_z)\vec e_y + (a_x.b_y-b_x.a_y)\vec e_z\)
Toepassen op \(\int{\vec a \times \vec b(t) dt}\)
:\(\vec e_x \int{a_y.b_z(t) dt} - \vec e_x \int{b_y(t).a_z dt} - \vec e_y \int{a_x.b_z(t) dt} + \vec e_y \int{b_x(t).a_z dt} + \vec e_z \int{a_x.b_y(t) dt} - \vec e_z \int{b_x(t).a_y dt}\)
Dan mogen alle componenten van \(\vec a\)
naar buiten gebracht worden, want die zijn niet afhankelijk van t. Dat dan groeperen per component geeft:\(\vec e_x \left(a_y \int{b_z(t) dt} - a_z \int{b_y(t) dt}\right) + \vec e_y \left(-a_x \int{b_z(t) dt} + a_z \int{b_x(t) dt}\right) + \vec e_z \left(a_x \int{b_y(t) dt - a_y \int{b_x(t) dt}\right)\)
En dan zit ik al vast... Zit ik tot hiertoe nog wel juist en in de goede richting? En zoja: kan iemand een tip geven voor hoe ik verder moet?
