Springen naar inhoud

Po - wiskunde oneindigheid


  • Log in om te kunnen reageren

#1

DwightGrondel

    DwightGrondel


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 april 2010 - 16:28

Hallo,

Ik zit met een probleem van een PO.
We maken een, wellicht bekend, zebra boekje. Blik op oneindig.

Een korte inleiding:

Het getal 10.000 heeft evenveel delers boven de 100, als onder de 100. (De delers moeten hele getallen zijn)

Elke deler heeft een tegenhanger, als bijvoorbeeld 10000 deelbaar door 40 is, is 10000 ook deelbaar door 10000/40 = 250
Dus zo heeft elke grote deler een kleine tegenhanger. 10000 delen door 100 (100) geeft als andere deler ook 100. Elke deler kleiner dan 100 heeft nu ook een tegenhanger die groter dan 100 is.
Nu heb je bewezen dat er evenveel delers groter dan 100 zijn, dan dat er delers zijn onder de 100.


Nu komt de tweede vraag: Een getal dat nŪet een kwadraat is, heeft een even aantal delers. Toon dat aan.
Gelukkig heb ik een antwoordenboekje, maar daar wordt ik niet wijzer uit.

Antwoord:
Stel dat b geen kwadraat is. We redeneren als in de vorige opgave.
Als a een deler is van b dan is b/a ook een deler van b.
Als a < √b dan is b/a > √b

Dus zijn er evenveel delers kleiner dan √b als groter dan √b. √b zelf is niet een geheel getal en is dus geen deler.

Ik snap de redenering niet van het antwoordenboekje, zou iemand zijn eigen theorie hier op los kunnen laten of misschien de uitleg versimpelen.

Alvast bedankt.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 april 2010 - 16:40

Tot waar begrijp je de redenering nog?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

DwightGrondel

    DwightGrondel


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 april 2010 - 16:44

Elke deler heeft een tegenhanger, als bijvoorbeeld 10000 deelbaar door 40 is, is 10000 ook deelbaar door 10000/40 = 250
Dus zo heeft elke grote deler een kleine tegenhanger. 10000 delen door 100 (100) geeft als andere deler ook 100. Elke deler kleiner dan 100 heeft nu ook een tegenhanger die groter dan 100 is.
Nu heb je bewezen dat er evenveel delers groter dan 100 zijn, dan dat er delers zijn onder de 100.

Dit snap ik volledig.

Stel dat b geen kwadraat is. We redeneren als in de vorige opgave.
Als a een deler is van b dan is b/a ook een deler van b.
Als a < √b dan is b/a > √b

Dit snap ik tot en met "Als a een deler is van b dan is b/a ook een deler van b"

Nu snap ik niet hoe ze van "Als a een deler is van b dan is b/a ook een deler van b." naar a < √b dan is b/a > √b redeneren.

Een daarna snap ik ook niet hoe ze van "a < √b dan is b/a > √b" naar "Dus zijn er evenveel delers kleiner dan √b als groter dan √b. √b zelf is niet een geheel getal en is dus geen deler."


Duidelijk ? :eusa_whistle:

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 april 2010 - 16:50

Als a < √b, vermenigvuldig dan beide leden met √b: a√b < b dus b/a > √b.
Dus voor elke a < √b, is er een bijhorende deler b/a en die is groter dan √b.

Ze komen dus allemaal in paren, tenzij eventueel √b zelf maar aangezien b geen kwadraat is, is √b geen geheel getal en dus ook geen deler.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

DwightGrondel

    DwightGrondel


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 april 2010 - 16:52

Fantastisch!

Heel erg bedankt!

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 13 april 2010 - 16:54

Graag gedaan, succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

denhaag

    denhaag


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2012 - 18:39

hallo mijn vraag is een vervolg op dit verhaal hierboven:

mijn vraag luidt: hoe toon ik aan dat een kwadraat een oneven aantal delers heeft??

ik kom maar niet uit want mij lijkt juist dat als je een kwadraat hebt bij 4^2 een even aantal delers hebt namelijk 8?

zou iemand mij kunnen helpen??

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 21 februari 2012 - 18:42

Kan je de bovenstaande redenering volgen? Voor een kwadraat (stel dat b een kwadraat is), komt daar precies ťťn deler bij, namelijk sqrt(b) zelf.

De positieve delers van 4≤ = 16 zijn 1 en 16, 2 en 8 en 4; dat zijn er 5...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 21 februari 2012 - 18:43

hallo mijn vraag is een vervolg op dit verhaal hierboven:

mijn vraag luidt: hoe toon ik aan dat een kwadraat een oneven aantal delers heeft??

ik kom maar niet uit want mij lijkt juist dat als je een kwadraat hebt bij 4^2 een even aantal delers hebt namelijk 8?

zou iemand mij kunnen helpen??

Kan je die delers even opschrijven ...

Heb je de voorgaande posten begrepen?

Veranderd door Safe, 21 februari 2012 - 18:45


#10

denhaag

    denhaag


  • 0 - 25 berichten
  • 3 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 21 februari 2012 - 18:52

Dankje TD, vorige stappen heb ik inderdaag begrepen





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures