ik zit met volgende integraal:
\(I = \int_0^\infty dx_1\ldots \int_0^\infty dx_{3N} \int_0^\infty dy_1\ldots \int_0^\infty dy_{3N}\Theta\left(1-\sum_{j=1}^{3N}\left(|x_j|^2+|y_j|^2\right)\right)\)
Ik zou graag overgaan op poolcoordinaten om van die som van kwadraten een "straal" te maken en zodat ik een aparte integraal krijg over de straal en de hoek. Maar welke transformatie voer ik het beste door?Ik heb het volgende geprobeerd:
\(\begin{equation}x_j &=& r_j \cos \varphi;y_j &=& r_j \sin \varphi\end{equation}\)
maar volgens mij werkt dit niet goed, want ik zou graag voor de integraal over de stralen het volgende krijgen\( \int_0^\infty dr_1\ldots \int_0^\infty dr_{3N} \Theta\left(1-\sum_{j=1}^{3N}|r_j|^2\right)\)
en dit is exact het volume van een bol in 3N dimensies met straal 1. Maar, volgens mij gooit de Jacobiaan nog roet in het eten omdat die nog voor de theta-functie komt, waardoor er geen volume van een bol staat.