Springen naar inhoud

Convergentie van imaginaire serie


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 mei 2010 - 22:04

Zat te lezen op de Wiki-site over LaTeX en stuitte op de zgn. ViŤte-formule waarbij LaTeX op de volgende wijze als een oneindig product geschreven kan worden:

LaTeX

Vroeg me toen af of dit oneindige product wellicht ook voor andere waarden convergeert en vond toen de volgende, ietwat verrassende convergerende serie voor complexe getallen:

LaTeX

Natuurlijk meteen geprobeerd om dit getal te relateren aan LaTeX of aan e, maar kan zo gauw niets bijzonders vinden. Het getal geeft ook geen hits op Google en de reeks opeenvolgende getallen achter de komma levert ook niets op bij Sloane's site voor reeksen en rijen.

Ziet iemand wellicht iets bijzonders in deze reeks?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 mei 2010 - 18:59

De volgende analogie levert wel wat op:

LaTeX

Levert voor -1 in dezelfde reeks op:

LaTeX

Kan het niet bewijzen, maar vond het toch een mooi resultaat. ;)

#3

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 mei 2010 - 19:41

En die laatste is weer heel mooi te veralgemeniseren voor alle negatieve getallen:

LaTeX

;)

#4

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 mei 2010 - 20:02

Klopt. Ik wou net het bewijsje posten voor jouw geval maar je hebt er al een algemeen geval van gemaakt! ;)

LaTeX

Dus is LaTeX
Dat oplossen naar a en invullen in bovenstaande vergelijking en het komt uit.
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#5

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 mei 2010 - 23:05

Nog wat verder zitten speuren over de geldigheid van de algemenere formule:

LaTeX

en hij blijkt alleen te werken voor LaTeX .

Zodra je echter waardes LaTeX invult, dan convergeert de reeks nog wel maar klopt de formule niet meer.

Paar voorbeelden van waardes die ik wel kon achterhalen:

LaTeX levert LaTeX

LaTeX levert LaTeX met LaTeX de Gulden Snede.

Wie ziet het verband voor LaTeX ? ;)

Veranderd door Agno, 04 mei 2010 - 23:06


#6

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2010 - 17:04

Toch even verder gespeurd naar een formule die geldig is voor het hele domein LaTeX en ik heb em gevonden: ;)

LaTeX

Zag trouwens dat er in een eerdere post hierboven een storende fout zat:

Het is natuurlijk niet:

LaTeX

maar:

LaTeX

met LaTeX het aantal termen in LaTeX

Dus eerste gedachte was natuurlijk: "daar zit misschien een nieuwe formule voor LaTeX in":

LaTeX

maar helaas, precies bij LaTeX wordt de formule natuurlijk net weer 0. ;)

Lukt het wellicht wel met de LaTeX en de Gulden Snede LaTeX ?

LaTeX

Maar dat wisten we natuurlijk ook al.

Dan als laatste maar een grafiek gemaakt van alle convergerende waarden voor LaTeX . Misschien is er nog iets leuks te halen uit die vreemde dip tussen 0 en 1?

Geplaatste afbeelding

#7

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2010 - 18:35

En dat dipje is natuurlijk ook erg eenvoudig te verklaren. Het is gewoon het omslagpunt tussen tweede wortel uit een positief en een negatief getal in:

LaTeX

LaTeX bij LaTeX . De functiewaarde is daar LaTeX .

Het nulpunt op -2 is dan het punt waar de hoofdwortel uit het gehele getal 'omklapt'.

Ook nog geprobeerd om te kijken welk getal bijv. LaTeX als uitkomst oplevert en dat is (niet geheel onverwacht) bij:

LaTeX .

#8

thermo1945

    thermo1945


  • >1k berichten
  • 3112 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 08 mei 2010 - 21:54

LaTeX

Deze formule bevat x = LaTeX of
x = LaTeX .
Door te kwadrateren zie je gemakkelijk in, dat x=2. Dus zou LaTeX zijn. De eerste bewering is dan fout

#9

Lucas N

    Lucas N


  • >100 berichten
  • 222 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 mei 2010 - 13:51

Dit topic begon met een modulus van een oneindig product van complexe wortels:

LaTeX

Nu zijn complexe wortels meerwaardig (LaTeX kan i of -i zijn), maar misschien is de modulus van die uitdrukking wel uniek ?
Uitgaand van
LaTeX
moet je van elke faktor aantonen dat ie uniek is.
Je zou kunnen denken dat verschillende wortels van een complex getal alleen qua argument verschillen en niet qua absolute waarde, dus dat LaTeX uniek is.
Ik betwijfel echter of dit opgaat vanaf LaTeX , omdat je onder de wortel iets krijgt waarvan de absolute waarde afhangt van de keuze van de wortel, onder die wortel .

Van de uitdrukkingen verder in dit topic, met wortels van wortels.....van complexe getallen, weet ik niet hoe ik kan inzien dat ze goed gedefinieerd zijn.

Kan iemand hier wat licht op schijnen?

#10

dragonitor

    dragonitor


  • >25 berichten
  • 49 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 mei 2010 - 09:41

als jullie een oneindige formule zien, hoe berekenen jullie dan het uiteindelijke cijfer? zijn daar truukjes voor?

#11

jhnbk

    jhnbk


  • >5k berichten
  • 6905 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 mei 2010 - 10:28

Zie bijvoorbeeld Bericht bekijken
De volgende analogie levert wel wat op:

LaTeX [/quote]
De uitdrukking klopt niet want daar komt gewoon nul uit.

Bedoel je dit:
Geplaatste afbeelding (Bron: Mathworld)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

#12

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 mei 2010 - 15:42

Zie bijvoorbeeld hier.



De uitdrukking klopt niet want daar komt gewoon nul uit.

Bedoel je dit:
Geplaatste afbeelding (Bron: Mathworld)


Jhnbk,

Dank voor de link. Die bedoelde ik inderdaad (en had deze fout in post #6 hierboven al gecorrigeerd).

#13

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 mei 2010 - 16:03

Nog wat verder zitten studeren op de reeks uit de openingspost:

LaTeX

en vond dat er nog ťťn andere waarde is die convergeert in dit oneindige product en dat is voor LaTeX :

LaTeX

Ook hier vind ik geen verband met de bekende constanten of met de eerste reeks. Toen maar even naar de ontwikkeling van de individuele producttermen gekeken en daar vond ik tot mijn verrassing dat de absolute waarde van de individuele termen convergeert naar:

LaTeX

Daarmee is LaTeX dus uitgedrukt in een reeks van uitsluitend imaginaire getallen.

Heeft iemand enig idee waarom dit zo is?

Veranderd door Agno, 15 mei 2010 - 16:03


#14

Agno

    Agno


  • >25 berichten
  • 100 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 mei 2010 - 16:17

Ah. Met het voorbeeld van Jhnbk hierboven is dit natuurlijk simpel te bewijzen:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

dus voor de reeks geldt dan:

LaTeX

Veranderd door Agno, 15 mei 2010 - 16:19






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures