Springen naar inhoud

Met de afgeleide aantonen dat de functie een minimum heeft?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

lisette--

    lisette--


  • >100 berichten
  • 213 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 mei 2010 - 15:49

hoi, ik heb weer is een vraagje. Ik hoop dat jullie me kunnen helpen.

Gegeven is de familie van functies fa(x) = x3/(x+a).
a. Plot de grafiek voor a = 0. Leg uit dat deze grafiek geen top heeft.- ik zal hier even snel het antwoord gegeven, als je a gelijk stelt aan 0 dan krijg je x3/x, waarbij x≠0. Als je x3/x verder uitwerkt kun je dit schrijven als x2, waarbij eigenlijk de top, in dit geval het minimum door (0,0) gaat. Omdat x≠0 heeft deze grafiek dus een perforatie bij (0,0) en bestaat er dus geen top.

b. Neem nu a≠0 en toon met behulp van de afgeleide aan dat fa een minimum heeft.
fa(x) = x3/(x+a)
uit de quotiŽntregel volgt:
fa'(x) = 3x2*(x+a) - x3*1/(x+a)2
fa'(x) = x2(2x + 3a)/(x+a)2

Nou is er een regel ofzo dat er een minimum is als fa'(x) =0 en als fa'(x) van negatief naar positief verandert bij het nulpunt.

fa'(x) =0
x2(2x + 3a)/(x+a)2 = 0
x2(2x + 3a) = 0
x2 = 0 v 2x + 3a = 0
x = 0 v x = -1,5a

maar hoe moet ik nu verder, kan iemand me dat op een makkelijke manier uitleggen. In het boek staat dat je ziet dat fa'(x) steeds van - naar + wisselt rond het nulpunt bij x = -1,5a. Wat bedoelen ze hier precies mee
Alvast bedankt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 mei 2010 - 17:07

Heb je wel eens gehoord van een tekenverloopschema? In dit geval van f'.

#3

lisette--

    lisette--


  • >100 berichten
  • 213 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 mei 2010 - 17:22

Heb je wel eens gehoord van een tekenverloopschema? In dit geval van f'.


In het boek staat wel een soort van uitleg, maar ik weet dus niet wat ze daarmee bedoelen. Is die tekenwisseling alleen om een minimum of maximum te vinden? En wordt daar de uiterste waarde mee bedoelt.

De uitleg die we hierbij hebben gekregen is dit:
Voor alle a≠0 is de raaklijn horizontaal bij deze x-waarden
uit een plot f'(x) voor verschillende waarden van a≠0 zie je dat f'(x) steeds van - naar + wisselt rond het nulpunt bij
x = -1,5 a. Er is daar dus sprake van een minimum. Bij x=0 treedt geen tekenwisseing op. De grafiek van f heeft daar voor alle a≠0 dus een buigpunt.

Maar wat ze hier nou precies mee bedoelen, weet ik niet. is het misschien mogelijk dat u dit iets makkelijker uitlegd?

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 mei 2010 - 17:42

Maak een tekenschema van f'.
Kies a=2, dus x=... geeft f'(x)=0, kies een waarde voor x groter en een waarde kleiner en bereken f', maak het tekenschema af.
Doe hetzelfde voor a=-2.
Wat is je conclusie?

#5

lisette--

    lisette--


  • >100 berichten
  • 213 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 mei 2010 - 17:47

als je voor a, -2 en 2 invult. en dit plot zie je dat als je voor a, -2 kiest. Dat de grafiek een minimum heeft (0,0). En als je voor a, 2 kiest zie je dat er een maximum is (0,0).

bedoel je dit?

#6

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 07 mei 2010 - 19:47

Een tekenverloopschema voor f':
Een getallenlijn met een punt x=-3 waar f'(-3)=0, en nu kies je een x kleiner en groter dan -3 en je berekent f' voor die x. Je vindt dan f' negatief links en positief rechts of andersom. In welk geval heb je een minimum voor f?

Het geval x≤ bekijken we straks.

#7

lisette--

    lisette--


  • >100 berichten
  • 213 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2010 - 09:01

ik snap niet echt wat je hiermee bedoelt. kun je dit misschien voor mij uitwerpen, zodat ik het misschien wel snap?

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 mei 2010 - 09:49

Kan je een getallenlijn tekenen?
Teken daarop x=-3 (onder de lijn -3, dat zijn de x-waarden)
Boven de lijn geven we de waarden van f' aan, dus 0 boven -3.
Nu kies je bv x=-5 (kleiner dan -3) en je berekent f'(-5), wat is de uitkomst positief of negatief, geef dat boven de lijn aan met + of -.
Kies bv x=0 (groter dan -3), verder op dezelfde wijze handelen.
Dit heet een tekenverloopschema van f'. (Eigenlijk een soort grafiek van f' maar dan alleen het teken en het nulpunt.)
Wat kan je nu zeggen van stijgen en/of dalen van de grafiek van f? Wat volgt dus voor het extreem in x=-3?

Doe nu hetzelfde voor a=2.
Wat blijkt nu voor elke a?

#9

lisette--

    lisette--


  • >100 berichten
  • 213 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2010 - 10:20

Kan je een getallenlijn tekenen?
Teken daarop x=-3 (onder de lijn -3, dat zijn de x-waarden)
Boven de lijn geven we de waarden van f' aan, dus 0 boven -3.
Nu kies je bv x=-5 (kleiner dan -3) en je berekent f'(-5), wat is de uitkomst positief of negatief, geef dat boven de lijn aan met + of -.
Kies bv x=0 (groter dan -3), verder op dezelfde wijze handelen.
Dit heet een tekenverloopschema van f'. (Eigenlijk een soort grafiek van f' maar dan alleen het teken en het nulpunt.)
Wat kan je nu zeggen van stijgen en/of dalen van de grafiek van f? Wat volgt dus voor het extreem in x=-3?

Doe nu hetzelfde voor a=2.
Wat blijkt nu voor elke a?


Je bedoelt dus dit: --------------0++++++++++++ zoiets.
Ik zal kijken of het lukt: maar waarom kies je eigenlijk -3.
0
----------------------------------
-3

als ik voor x -5 invul in f'(x) dan daalt de grafiek eerst en daarna stijgt het. Wat is dan de uitkomst, negatief
Als ik voor x 0 invul dan krijg ik helemaal geen grafiek. Doe ik nou iets verkeerd. Want de a is niet bekend, dus plot ik het even. Dit vul ik in Y1= (02)(2*0+3x)/(x+a)2. De officiŽle afgeleide was: x2(2x + 3a)/(x + a)2

er zal vast dit uitkomen
0
------------+++++++++
-3

#10

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 mei 2010 - 10:41

-------------0+++++++ f'
_____________________
...............-3.................x
Wat is (bij deze a=-2) het extreem van f?





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures