Springen naar inhoud

Vectorruimtes: verband tussen kern, beeldruimte en oplossingsverzameling


  • Log in om te kunnen reageren

#1

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2010 - 02:49

Hallo mede forumbezoekers,

Ik loopt al een tijdje tegen enkele vagen aan bij het volgende voorbeeld:

projectie van x element van LaTeX op y element van LaTeX

LaTeX = LaTeX

ofwel Ax=y

Is het juist dat voor dit voorbeeld:

de kern gelijk is aan de vector LaTeX

de oplossingenverzameling en de beeldruimte gelijk zijn aan x1x2-vlak ofwel de vector y (Zo ja, is dit altijd zo?)

de lineaire afbeelding(functie zelf) gelijk is aan de matrix A

Kan er iemand mij verder helpen?

Alvast bedankt aan alle liefhebbers!

Veranderd door motionpictures88, 08 mei 2010 - 02:51


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 mei 2010 - 14:25

De kern is niet "de vector", maar de "verzameling van vectoren..." (er zijn er oneindig veel!); inderdaad met nulle x- en y-componenten en willekeurige z-component. Wat bedoel je met "oplossingenverzameling"? De beeldruimte is de verzameling van alle beelden en dat is inderdaad het hele vlak; heel R≤.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2010 - 17:01

hartelijk bedankt voor uw respons!

Ik denk dat ik best een waarde geef aan de vector y, stel dat de lineaire afbeelding geven wordt door volgende matrices:

LaTeX met parameter l element van reŽle getallen

bedankt voor de bijdrage van uw expertise aan het WSF!

Veranderd door motionpictures88, 08 mei 2010 - 17:10


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 mei 2010 - 19:16

Ik denk dat ik best een waarde geef aan de vector y, stel dat de lineaire afbeelding geven wordt door volgende matrices:

LaTeX

met parameter l element van reŽle getallen

Maar wat is de definitie van "oplossingenverzameling" bij jou? In deze context (een lineaire afbeelding gegeven door een matrix) begrijp ik wat je bedoelt met kern en beeld(ruimte), maar niet wat je bedoelt met oplossingenverzameling. Dat associeer ik met een vergelijking of stelsel van vergelijkingen...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2010 - 20:06

hartelijk bedankt voor de gedetailleerde respons!

De lineaire afbeelding ligt vast met die eerste matrix, daarvoor hoef je y geen concrete waarde te geven. Dan wordt het gewoon een stelsel in de vector x; dat lijkt me niet de bedoeling...?



Dat was inderdaad niet de bedoeling, ik wou het wat eenvoudiger maken maar ging waarschijnlijk te ver

Maar wat is de definitie van "oplossingenverzameling" bij jou? In deze context (een lineaire afbeelding gegeven door een matrix) begrijp ik wat je bedoelt met kern en beeld(ruimte), maar niet wat je bedoelt met oplossingenverzameling. Dat associeer ik met een vergelijking of stelsel van vergelijkingen...


In mijn cursus begint de paragraaf "kern en beeldruimte van een matrix" als volgt:

Deelruimten treden in toepassingen meestal op onder twee vormen:

(1) als ruimten opgespannen door een gegeven stel vectoren;
(2) als oplossingenverzameling van lineaire stelsels.

Bijvoorbeeld, de eerste bissectrice in het vlak kan geschreven worden als de ruimte voorgebracht door de vector (1,1) ofwel als de oplossingenverzameling van de lineaire vergelijking x1 - x2 = 0.


Vanaf dan veronderstelt mijn cursus dat de definiŽring van oplossingenverzameling gekend is, ik heb dus niet meer als "definitie".

Bedankt aan alle liefhebbers!

Veranderd door motionpictures88, 08 mei 2010 - 20:14


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 mei 2010 - 20:13

Okť, maar wat is nu de precieze opgave? Het kern en beeld horen bij de lineaire afbeelding, dus bij de (eerste) matrix. Van een oplossingenverzameling kan er maar sprake zijn als er ook een stelsel van vergelijkingen is, dus wanneer een vaste y gekozen/gegeven is en x gezocht wordt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2010 - 20:36

Bedankt voor uw hulp!

Ik heb niet echt een opgave, maar ik denk dat ik door heb wat er bedoeld wordt.

Als mijn vector y geconcretiseerd wordt, dan zoek je een oplossingverzameling want dan wordt het zoals u zegt een "stelsel in de vector x "

Terwijl als y algemeen gehouden wordt, spreek je van een beeldruimte. (eigenlijk is dus {alle mogelijke oplossingenverzamelingen voor y element van R^2 } = de beeldruimte)

Veranderd door motionpictures88, 08 mei 2010 - 20:43


#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 mei 2010 - 21:15

Als mijn vector y geconcretiseerd wordt, dan zoek je een oplossingverzameling want dan wordt het zoals u zegt een "stelsel in de vector x "

Inderdaad, maar oplossingen van dat stelsel (dus elementen van die oplossingverzameling), zijn dus vectoren x die afgebeeld worden op dŪe y. Dus:

Terwijl als y algemeen gehouden wordt, spreek je van een beeldruimte. (eigenlijk is dus {alle mogelijke oplossingenverzamelingen voor y element van R^2 } = de beeldruimte)

Nee, de oplossingverzameling bestaat uit vectoren x (in jouw geval dus uit R≥) die op een vaste y worden afgebeeld; terwijl de beeldruimte bestaat uit alle vectoren y die het beeld zijn onder de lineaire afbeelding (dus een deel van R≤ in jouw geval).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2010 - 21:44

bedankt voor uw vele antwoorden!

Zo ben ik er ongeveer uit. Als u zegt "deel van R≤",

bedoelt u dan deze kolommatrix ? LaTeX

Deze matrix beschrijft een deelverzameling van R≤, meer bepaald R≤ zelf? (het x1x2-vlak)

Veranderd door motionpictures88, 08 mei 2010 - 21:45


#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 mei 2010 - 21:51

Ik begrijp je vraag niet helemaal, maar ik zal het in het algemeen nog eens op een rij zetten.

Een lineaire afbeelding f kan voorgesteld worden aan de hand van een matrix A; elke lineaire afbeelding heeft zo'n matrixvoorstelling en met elke matrix kan je ook een lineaire afbeelding associŽren.

Een lineaire afbeelding van V naar W neemt vectoren uit V (die zal ik met v noteren) en beeldt ze af op vectoren uit W (die zal ik met w noteren); als ik de matrix van de lineaire afbeelding A noteer, dan geldt dus:

A is een afbeelding van V naar W waarbij Av = w

De vector w (uit W) is dus het beeld onder A van een vector v (uit V). Als je alle beelden bepaalt (dus Av voor elke v uit V), dan noem je de verzameling van al die bijhorende w's de beeldruimte. Dit is niet noodzakelijk heel W, het kan een deel van W zijn. De verzameling van alle v's uit V die als beeld de nulvector uit W hebben (dus het speciale geval Av = 0), noemen we de kern. De beeldruimte is dus een deel van W, de kern een deel van V.

Voor een vaste vector w uit W, kan je Av = w beschouwen als een stelsel van lineaire vergelijkingen in de onbekende componenten van v. De oplossingenverzameling bestaat uit alle vectoren v uit V die voldoen aan Av= w, voor die vaste w. In plaats van de oplossingenverzameling als een soort beeldruimte te zien, kan je dus beter de kern zien als een speciaal geval van een oplossingenverzameling ; namelijk wanneer w = 0 gekozen wordt.

In jouw eerder voorbeeld is V = R≥ en W = R≤. De kern is ... en de beeldruimte is ... (zelf nog even proberen goed te noteren); de oplossingenverzameling kunnen we maar noteren wanneer een vaste w gekozen is; dit zal bestaan uit alle v's uit V (hier R≥) waarvoor Av precies dŪe w (uit R≤) geeft.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2010 - 22:14

heel erg bedankt voor de uitgebreide uitleg!

De redenering die u opbouwt is mij nu volkomen duidelijk. Hier was ik zelf nooit uitgeraakt.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 mei 2010 - 22:26

Okť, graag gedaan. Lukt het nu om de vragen te beantwoorden voor jouw opgave? Succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 mei 2010 - 22:49

Okť, graag gedaan. Lukt het nu om de vragen te beantwoorden voor jouw opgave? Succes ermee!


Zover zit ik nog niet nog niet in mijn cursus(ik heb nog niet alle opgave's bestudeerd), mocht dit niet zo blijken ben ik zeer blij met de mogelijkheid om hier nog een vraag te stellen.

Nogmaals bedankt!

Veranderd door motionpictures88, 08 mei 2010 - 22:52


#14

motionpictures88

    motionpictures88


  • >100 berichten
  • 197 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 17 augustus 2010 - 07:19

In jouw eerder voorbeeld is V = R≥ en W = R≤. De kern is ... en de beeldruimte is ... (zelf nog even proberen goed te noteren)


Voor alle duidelijkheid: de beeldruimte (verzameling van alle mogelijke w's) valt hier samen met het x1x2-vlak?

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 augustus 2010 - 18:40

Ja, het beeld is volledig R≤; elke vector uit R≤ is immers het beeld van een vector uit R≥ onder jouw afbeelding.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures