Primitiveren

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 9

Primitiveren

Hallo, ik moet voor een project het volgende doen:

Laat zien dat de functie

g(x) = -[wortel]1-x² + ln( (1+[wortel]1-x²) / x )

een primitieve functie is van het in onderdeel f gevonden verband.

Bij f heb ik gevonden:

f(x) = ( ;) 1-x²) / x

Zover kom ik nog:

f(x) = ( ](*,) 1-x²) / x

= (1-x2)0,5 * x-1

Maar ik heb eigenlijk geen idee hoe ik iets als dit moet primitiveren, dus als er 2 dingen vermenigvuldigd worden.

Ik snap wel dat die ln bij het eindantwoord komt door de x-1...

maar niet hoe datgene wat erin staat erin komt :S

Hopelijk een snelle reactie, ik doe het zoals gewoonlijk weer eens op de laatste dag... :D/

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Primitiveren

Waarom differentieer je g(x) niet (naar x)?

Berichten: 9

Re: Primitiveren

ok, zal is proberen!

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Primitiveren

Weet je zeker dat f(x) goed is?

Berichten: 9

Re: Primitiveren

g'(x) = x/ ([wortel]1-x2) + (1 / (1+[wortel]1-x2) / x ) * (1 / ;) 1-x2)

en ik weet niet of er in een kettingregel nog een kettingregel kan zitten...

zo ja komt er dit nog achteraan: * -2x

Effe uitwerken:

g'(x) = x/ ([wortel]1-x2) + (1 / (1+[wortel]1-x2) / x ) * (1 / ](*,) 1-x2) * -2x

= x/ ([wortel]1-x2) + -2x2 / ( [wortel]1-x2 + 1-x2

Dus dat is mijn eindantwoord dan:

g'(x) = x/ ([wortel]1-x2) + -2x2 / ( [wortel]1-x2 + 1-x2

Dit lijkt in de verste verte niet op wat ik bij f had gevonden.. :S

Dus is mijn f dan fout of doe ik het hier fout?

nou, we hebben de antwoorden niet gekregen, dus ik weet ook niet zeker of f goed is, maar dat weet ik wel bijna zeker..

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Primitiveren

Kan je de opgave geven?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Primitiveren

Verplaatst naar huiswerk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 9

Re: Primitiveren

Ok, het gaat over een tractrix / sleepkromme.

Aan het begin heb je een steen die je weglegt op het punt (0,1).

Je knoopt een touw eraan vast, en dan loop je over de x-as naar rechts.

Dan krijg je de differntiaalvergelijking: dy/dx = - y / ( ](*,) 1 - y2 )

Dit klopt, want het staat bij de vraag zelf.

Je moest het aantonen, dat heb ik gedaan:

Afbeelding

Neem de driehoek PVQ.

PQ = 1 (dit lijnstuk is schuin), PV = y (dit lijnstuk is verticaal)

Dan kun je VQ berekenen met de stelling van Pythagoras:

PV2 + VQ2 = PQ2

VQ2 = PQ2 - PV2

VQ2 = 1^2 - y^2

VQ = (√(1-y^2 )) (dit lijnstuk is horizontaal)

Nu is dy/dx een oneindig kleine verticale verandering gedeeld door een oneindig

kleine horizontale verandering. Naar de driehoek PVQ vertaald is dat dus:

waarbij het min-teken erbij is gekomen omdat de helling negatief is.

Maar dit is f:

Indien we de steen op de x-as leggen (op punt (1,0)) en vanuit de oorsprong langs de y-as lopen, kunnen we een soortgelijk verband afleiden tussen y en x. In dat geval kun je schrijven als een functie van x. Het is dan dus geen differentiaalvergelijking meer.

f) Leid het bedoelde verband af.

zo kwam ik aan mijn antwoord voor f

f(x) = ( 1-x²) / x

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Primitiveren

Ok, het klopt allemaal.

Je afgeleide g'(x):

je eerste term: x/√(1-x²) is ok.

de tweede term: ln(...) niet.

Doe dat nog eens ... denk eraan 1/breuk*... dan de breuk (1+√...)/x differentiëren.

Berichten: 9

Re: Primitiveren

g'(x) = x/ ](*,) (1-x2) + ...

Voor de 2e term was dit mijn gedachtenwijze:

a(x) = ln ( (1+[wortel]1-x2) / x )

Ik dacht dan:

a'(x) = (1+[wortel]1-x2) / x )-1 * de kettingregel * de kettingregel in de kettingregel

De kettingregel weet ik hier dan niet, dus de afgeleide van 1+[wortel]1-x2) / x

De kettingregel in de kettingregel is toch: -2x (of hoef je dat wat in de wortel staat niet nog eens als een kettingregel te zien?)

Als je me kan vertellen hoe ik die 1e kettingregel doe, denk ik dat ik er ben

Aah chips.

volgens mij is mijn antwoord bij f fout.

Er moet nog een min-teken voor.

Het antwoord bij f moet dan zijn:

- ([wortel]1-x2) / x

Maar dit heeft niet echt grote gevolgen voor het differntieerwerk gelukkig

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Primitiveren

De kettingregel is maar één regel:

Je moet de quotiëntregel combineren met de kettingregel.

Dus:
\(\frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}\cdot\frac{nat-tan}{x^2}\)
(zegt je dit iets? Voer het eens uit.)

Berichten: 9

Re: Primitiveren

ik snap even die nat - tan niet

Berichten: 9

Re: Primitiveren

oow, bedoel je met die nat - tan dat ik die zelf moet uitzoeken ](*,)

dan is het volgens mij dit:

( -2x / [wortel]1-x2 *x - (1 + [wortel]1-x2) * 1 ) / x2

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Primitiveren

Goed, even herhalen:
\(\frac{ \frac{-2x}{\sqrt{1-x^2}}\cdot x-(1+\sqrt{1-x^2})\cdot 1}{x^2}\)
en nu vereenvoudigen, teller en noemer vermenigvuldigen met √(1-x²).

Berichten: 9

Re: Primitiveren

-2x2 - [wortel]1-x2 - 1-x2

[wortel]1-x2 * x2

Reageer